n元1次不定方程解法新论.docVIP

40. n元一次不定方程解法新论 王凯成（陕西省艺术师范学校 陕西省小学教师培训中心 710600） 文[1]、[2]、[3]、[4]都研究了n元一次不定方程的通解问题，受[1]、[2]、[3]、[4]的启发，笔者提出更为简捷有效的解法. n元一次不定方程其中都是整数，当 时，必有整数解.在有整数解的前提下，不妨设 （下同）. 二元一次不定方程 二元一次不定方程的所有整数解为 . 其中是的一个特解.可见求二元一次不定方程所有整数解的关键在于求出它的一个特解. 求二元一次不定方程的一个特解的实质就是找出整数使a与b的线性组合. 我们可以利用矩阵的初等行变换. 给矩阵的某行元素乘以一个非零整数得到新的一行； 给矩阵的某行元素乘以整数k（k≠0）加到矩阵的另一行对应元素上去得到新 的一行. 利用上述矩阵的初等行变换把矩阵 化为矩阵 ，其中. 把矩阵B叫做A的增行解矩阵. 求B的关键在于通过a，b的反复线???组合找到r，r是c的约数，这里约数包括正约数和负约数. 我们把从矩阵A到矩阵B得出的一个特解的方法称为增行矩阵法. 求的一个特解. 解法1 所以 解法2 所以 注：表示给第一行各元素乘以加到第二行对应元素上去. 表示给第四行各元素乘以7. 下同. 求的全部整数解. 解 先求特解. 所以 的全部整数解为 . n元一次不定方程 对于n元一次不定方程当时，如果 中有两个的最大公约数是1，不妨设，那么 . 若的一个特解为，那么由二元一次不定方程的通解公式可知： n元一次不定方程（其中）的通解公式为： . 由此可见，n元一次不定方程在有解前提下，如有两个系数的最大公约数是1，则它的通解中含有个参变量，其中的个参变量都可以取原来的变元. 求的所有整数解. （文[3]中的例2） 解 原方程可化为： 的一个特解为 . 故的通解公式为： . 即：. 求的一切解. （文[4]例题） 解 的一个特解为 故的一切解为： . 即： . 求不定方程的通解. （文[2]例2） 解 的一个特解为 . 故的通解公式为： . 即： . 如果n元一次不定方程的系数中任何两个的最 大公约数都不是1，那么的绝对值都大于1，设是绝对值最小的一个，且不妨设，那么以为除数有： . 此时原方程可转化为： . 若中有某两个互质，则可用前述方法解之；若中任何两个都不互质，再次转化，…… 求的通解公式. 解 原方程可转化为： . 令，则 . 的一个特解为 的通解为：. 即：. 但，故知的通解为： . 实质上，当，但两两都不互质时，只要设法变形，使变 形后的方程中有两个系数互质（如例6也可以转化为，令x+y=u，在中，4与15互质；还可以转化为，令y+z=u，在中，6与5互质），由例3、例4、例5的方法可解，最后再回代. 参考文献 张德荣.一次不定方程.数学通报，1985，9：32~34. 叶萍恺.n元一次不定方程通解的特征及应用.数学通报，1995，9：30~32. 王卿文.关于多项式最大公因式的矩阵求法的一个注记.数学通报，1992，11：30~32. 闵嗣鹤，严士健.初等数论.北京：高等教育出版社，1995（第二版）.22~31. 本文发表于中国数学会会刊、全国中文核心期刊《数学通报》2002年第2期