Picard存在及唯一性定理.docVIP

Picard存在和唯一性定理 本节利用逐次逼近法，来证明微分方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　(2.1) 的初值问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　(2.2) 的解的存在与唯一性定理.  定理2.2 (存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数 在闭矩形域 　　　　　　　　　　 上满足如下条件： 　　(1) 在R上连续; 　　(2) 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点 和 有不等式： 　　　　　　　　 则初值问题(2.2)在区间 上存在唯一解　　　　　　　　　　　　 其中 　　在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明: 　　1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替它.即如果函数 在闭矩形域R上关于y的偏导数 存在并有界， .则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有 　　　　　　　　　 其中 满足 ，从而 .如果 在R上连续，它在R上当然就满足李普希兹条件.（这也是当年Cauchy证明的结果） 2．可以证明，如果偏导数 在R上存在但是无界，则Lipschitz条件一定不满足，但是Lipschitz条件满足，偏导数不一定存在，如。 3.现对定理中的数h0做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况. 这时，过点 的积 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 图 2-5 分曲线 当 或 时，其中 ， ，到达R的上边界 或下边界 .于是，当 时，曲线 便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间 上存在. 由于定理假定 在R上连续,从而存在 　　　　　　　　　　　 　　 于是，如果从点 引两条斜率分别等于M和-M的直线，则积分曲线 (如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取 　　　　　　　　　　　 则过点 的积分曲线 (如果存在的话)当x在区间上变化时，必位于R之中. 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　图 2-6 存在性的证明 　　求解初值问题（2.2） 求解积分方程（2.3）. 　　 　　因此，只要证明积分方程(2.3)的连续解在 上存在而且唯一就行了. 　　下面用毕卡(Picard)逐次逼近来证明积分方程(2.3)的连续解的存在性，可分三个步骤进行: 　　 1.构造逐次近似序列. 　　　　 　　近似序列 或写成 　　　　　　　　　　 的每一项都在 上有定义，这是因为 于是 ．这样，我们在区间 上，按逐次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列) 　　 　　 2. 证明近似序列 在区间 上一致收敛. “ 函数序列的一致收敛 　　1．设 （1） 是定义在I上的函数序列，若对 ，数列 　　　 收敛，则称 为序列（1）的收敛点．收敛点的全体叫收敛域． 在收敛域上每一点，序列（1）都有极限，这极限形成收敛域上的一个函数，称为极限函数．设此函数为 ，即 　　2．若对 ，总存在一个只与 有关的自然数N，使得对I上任何一点 ，当 时，有 ，则称序列（1）在I上一致收敛． ? 证明分如下二步： 　　（1）序列 在 上一致收敛 级数（2.7）在 上一致收敛（级数）．因为级数　　　　 ?????? （2.7） 的部分和 　　　　　　　　　　　　　 “ 函数项级数的一致收敛 　　1．设函数项级数??????????????????? ??????????（1） 在区间I上收敛于和函数 ，即对 ，数项级数 收敛于 ，或级数（1）的部分和所组成的数列 = ???????? 由数列极限定义，对 ， ，使得 时，有? ????????????? 　　2．级数（1）在I上一致收敛 对 ， ，使得对 ，当 时，有 ．?????? 　　3．若函数项级数（1）的每一项都在I上连续，并且在I上一致收敛，　　则（1）的和函数 在I上连续． ? （2）级数（2.7）在 上一致收敛． 　　 用数学归纳法，易证级数（2.7）从第二项开始，每一项绝对值都小于正项级数 　　　　　　　 　　　　 的对应项，而上面这个正项级数显然是收敛的.所以，由优级数判别法， 　“ 函数项级数的一致收敛判别法 （魏尔斯特拉斯优级数判别法） 函数项级数??????????????????? ??????????（1） 若函数项级数（1）在区间I上满足????????????????? （ I ） ；?????????