计算机图形学第7章自由曲线与曲面.pptVIP

;曲线分类;图7-1 汽车的曲面;7.1 基本概念 ;7.1.1 样条曲线曲面;7.1.2 曲线曲面的表示形式;直线的隐函数方程表示为： 直线的参数方程表示为： ;由于用参数方程表示的曲线曲面可以直接进行几何变换，而且易于表示成矢量和矩阵，所以在计算机图形学中一般使用参数方程来描述曲线曲面。下面以一条三次曲线为例，给出参数方程的矢量和矩阵表示： 参数方程表示：;矢量表示： t∈〔0,1〕； 矩阵表示： t∈〔0,1〕； ;7.1.3 拟合和逼近 ;图7-2 拟合曲线 图7-3逼近曲线;7.1.4连续性条件 ;参数连续性 零阶参数连续性，记作C0，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的坐标。如图7-4所示。;一阶参数连续性，记作C1，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶导数。如图7-5所示。 ;二阶参数连续性，记作C2，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶和二阶导数。如图7-6所示。;7.4 Bezier曲线 ; Bezier的想法从一开始就面向几何而不是面向代数。Bezier曲线由控制多边形惟一定义，Bezier曲线只有第一个顶点和最后一个顶点落在控制多边形上，且多边形的第一条和最后一条边表示了曲线在起点和终点的切矢量方向，其它顶点则用于定义曲线的导数、阶次和形状，曲线的形状趋近于控制多边形的形状，改变控制多边形的顶点位置就会改变曲线的形状。绘制Bezier曲线的直观交互性使得对设计对象的控制达到了直接的几何化程度，使用起来非常方便。几种典型的三次Bezier曲线如图7-7所示。 ;几种典型的三次Bezier曲线 ;7.4.1 Bezier曲线的定义 7.4.2 Bezier曲线的性质 7.4.3 Bezier曲线的可分割性 ;给定n+1个控制点Pi（i＝0，1，2……n），称为n次Bezier曲线。 t∈〔0，1〕 式中，Pi（i＝0，1，2……n）是控制多边形的n+1个控制点，控制多边形是连接n条边构成的多边形。是Bernstein基函数，其表达式为： ; 1.一次Bezier曲线 当n＝1时，Bezier曲线的控制多边形有二个控制点P0和P1，Bezier曲线是一次多项式。 可以看出，一次Bezier曲线是一段直线。 ;2.二次Bezier曲线 当n＝2时，Bezier曲线的控制多边形有三个控制点P0、P1和P2，Bezier曲线是二次多项式。 可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物线。 ; 3.三次Bezier曲线 当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形有四个控制点P0、P1、P2和P3，Bezier曲线是三次多项式。 可以证明，三次Bezier曲线是自由曲线。 ; 注意：对于Bezier曲线，在区间〔0,1〕范围内，每个基函数均不为零，说明不能使用控制多边形对曲线的形状进行局部调整，如果要改变某一控制点位置，整个曲线都将受到影响。 ;7.4.2 Bezier曲线的性质 ; 2.一阶导数 将式（7-12）求导，有 在闭区间〔0，1〕内，将t＝0和t＝1代入上式，得到 这说明Bezier曲线的起点和终点的切线方向位于控制多边形的起始边和终止边的切线方向上。 ; 3.凸包性质 由公式（7-13）可以看出，在闭区间〔0，1〕内， ，而且 。说明Bezier曲线位于控制多边形构成的凸包之内。 ;（4）几何不变性。这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线位置与形状与其特征多边形顶点 的位置有关，它不依赖坐标系的选择。;7.4.3 Bezier曲线的可分割性 ;例如，当n=3时，有 三次Bezier曲线递推如下： ; 其中：规定： ;根据该式可以绘制Bezier曲线，取t=0，t＝1/3，t＝2/3，t=1，点的运动轨迹形成Bezier曲线。图7-8绘制的是t=1/3的点。;图7-9绘制的是t=2/3的点。; 几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条件。 ; 给定两条Bez