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2 向量组线性相关性
§2 向量组的线性相关性;m×n矩阵A又有m个n维行向量;; 由此可见，线性方程组与其增广矩阵B＝（A,b）的列向量组α1，α2，…，αm , b之间也有一一对应的关系.
; 线性表示 给定向量组A: α1,α2,…,αm和向量 b , 如果存在一组数 λ1 , λ2 , … , λm ,使
b = λ1α1 + λ2α2 + … + λmαm
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示.
; 定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必
要条件是矩阵 A = ( α1 , α2 , … , αm ) 的秩等于矩阵
B =( α1 , α2 , … , αm , b )的秩.
;bj = k1j α1 + k2j α2 + … + kmj αm; 由此可知，若 C m×n = Am×s Bs×n ,则矩阵C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为这一表示的系数矩阵：
; 综合上面的讨论，我们得出矩阵A经过初等行变换变成矩阵B,则B的每个行向量都是A的行向量的线性组合，即B 的行向量组能由A??行向量线性表示.由于初等变换可逆，则矩阵B亦可经初等行变换变为A，从而 A 的行向量组也能由B 的行向量组线性表示.于是A的行向量组与B的行向量组等价.
;四、向量组的线性相关性; 4）一个向量α是线性无关的充分必要
条件是 α ≠ 0.;亦即;2）设有x1, x2, x3 使;五、线性相关性基本定理; 必要性 设α1，α2，…，αm 线性相关，即有不全为 0 的数 k1, k2, … , km 使
; 例2 设 αT = ( a1 , a2 , … , an ) , e1T = ( 1, 0, … , 0 ),
e2T = ( 0, 1, … ,0 ), … ,enT= ( 0, 0, …, 1) ,
讨论向量组的线性相关性.
; 定理3 设 α1 , α2 , … , αm 线性无关,而α1，α2，…，αm，β 线性相关，则 β 能由α1，α2，… ，αm线性表示，
且表示式是唯一的.
;再证表示式的唯一性.设有两个表示式;作业 127页 1、2、
128页 5.
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