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2-1 控制系统的时域数学模型 2-2 控制系统的复数域数学模型 2-3 控制系统的结构图 第二章 控制系统的数学模型 2-4 控制系统的信号流图 数学模型是描述系统内部物理量(或变量)之间关系的数学表达式。 数学模型可以有多种形式。在经典理论中，常用的数学模型是微（差）分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性等；在现代控制理论中，采用的是状态空间表达式。结构图、信号流图、状态图是数学模型的图形表达形式。 数学模型表示方法 建立控制系统的数学模型方法有分析法（机理建模法）和实验法（系统辨识）。 分析法是根据系统各部分的运动机理进行分析，列写相应的运动方程。 实验法是给系统施加测试信号，记录其输出响应。 2-1 控制系统的时域数学模型 1、建立步骤 （1）  确定输入和输出量 （2）  依据定律列写原始方程 （3）  消去中间变量，写出微分方程 （4） 将微分方程标准化。 二、线性元件的微分方程 例题：写出RLC串联电路的微分方程。 例题：列写电枢控制直流电动机的微分方程 取电枢电压ua和等效到电机转轴上的负载转矩Mc为输入量，输出是转速w 电枢回路方程为 控制系统的微分方程 若以角速度 为输出量、电枢电压 为输入量， 消去中间变量，直流电动机的微分方程为 电磁转矩方程 电动机轴上转矩平衡方程 当电枢回路的电感可以忽略不计 若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计，则上式可进一步简化 根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： 例题： 图为弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统，列写质量 在输入量为外力F，输出量为位移x。 阻尼器是一种产生粘性摩擦的装置，由活塞和充满油液的缸体组成。活塞和缸体之间的任何相对运动都将受到油液的阻滞。阻尼器用来吸收系统的能量并转变为热量而散失掉。 [解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘滞阻尼系数，k为弹性系数。 二、控制系统微分方程的建立 ⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。 ⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。 ⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。 ⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。 1、步骤 例题：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。 控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机 运放1 运放2 功放 直流电动机 减速器（齿轮系） 测速发电机 消去中间变量 控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为 三、线性定常微分方程的求解 直接求解法：通解+特解 自由解+强迫解（零输入响应+零状态响应） 拉氏变换求解法： 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。 1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量s的代数方程； 解： 零初始条件下取拉氏变换： 2.2.1 2.2.3 2.2.2 三、非线性微分方程的线性化 [非线性系统]：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。 设具有连续变化的非线性函数y=f(x)如图所示 若取某一平衡状态为工作点，如下图中的A(x0,y0)。A点附近有点为A(x0+Dx,y0+Dy)，当Dx很小时，AB段可近似看做线性的。 对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开。设双变量非线性方程为： ，工作点为 。则可近似为： 式中： ， 。 为与工作点有关的常数。 2-2 控制系统的复数域数学模型 引入新课： 一、传递函数的定义 r(t)—输入量， c(t)—输出量 R(s)=L[r(t)], C(s)=L[c(t)] （1）t0,输入量及其各阶导数均为0 零初始条件 （2）t0,输出量及其各阶导数均为0 (1)为何要规定零初始条件？ (2)规定初始条件为零是否可行？