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控制系统的状态空间模型;现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。 在用状态空间法分析系统时,系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。 它能反映系统的全部独立变量的变化,从而能同时确定系统的全部内部运动状态,而且还可以方便地处理初始条件。 因而,状态空间模型反映了系统动态行为的全部信息,是对系统行为的一种完全描述。;状态空间分析法不仅适用于SISO线性定常系统,也适用于非线性系统、时变系统、MIMO系统以及随机系统等。 因而,状态空间分析法适用范围广,对各种不同的系统,其数学表达形式简单而且统一。 更突出的优点是,它能够方便地利用数字计算机进行运算和求解,甚至直接用计算机进行实时控制,从而显示了它的极大优越性。;第一节 状态和状态空间模型 系统的状态空间模型是建立在状态和状态空间概念的基础上的,因此,对这些基本概念进行严格的定义和相应的讨论,必须准确掌握和深入理解。 状态 状态变量 状态空间 状态空间模型;1. 系统的状态和状态变量 动态(亦称动力学)系统的“状态”这个词的字面意思就是指系统过去、现在将来的运动状况。 正确理解“状态”的定义与涵义,对掌握状态空间分析方法十分重要。 “状态”的定义如下。 定义 动态系统的状态,是指能够完全描述系统时间域动态行为的一个最小变量组。 该变量组的每个变量称为状态变量。 该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数。;“状态”定义的三要素 完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时刻(t=t0)的值和初始时刻后(t?t0)的输入,则系统在任何瞬时(t?t0)的行为,即系统的状态,就可完全且唯一的确定。 动态时域行为。 最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分量是相互独立的。 减少变量,描述不全。 增加则一定存在线性相关的变量,冗余的变量,毫无必要。;若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须由n个变量(即状态变量)所组成,一般记这n个状态变量为x1(t),x2(t), …,xn(t). 若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向量,则称这个向量为状态变量向量,简称为状态向量,并可表示如下:;状态变量是描述系统内部动态特性行为的变量。 它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能直接测量或观测的量； 可以是物理的,甚至可以是非物理的,没有实际物理量与之直接相对应的抽象的数学变量。;状态空间;2. 系统的状态空间 若以n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴,就可构成一个n维欧氏空间,并称为n维状态空间,记为Rn. 状态向量的端点在状态空间中的位置,代表系统在某一时刻的运动状态。;状态变量选取的特点： 状态变量的选取具有非唯一性：即可用某一组， 也可用另一组数目最少的变量。 状态变量个数的选取具有唯一性：;要注意的是状态变量虽然具有非唯一性，但不是所有的变量都可以作为状态变量。例如：纯电阻电路就没有状态变量，因为在这类电路的元件上，任意时间的电流、电压仅取决于该时刻的激励，其形成是一个瞬时的作用，元件过去的历史（初始条件）对确定电路中任意元件上的响应是无关的，输入输出之间仅是一般的代数关系，这种系统属于瞬时（无记忆）系统，所以这种系统就不能用状态变量法来分析。因此，选状态变量的条件是：各状态变量间不能用代数方法互求，且其数目对于给定系统是确定的。;状态变量的个数一般应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数; 二、系统的状态空间模型 状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。 状态空间模型由 描述系统的动态特性行为的状态方程和 描述系统输出变量与状态变量间的变换关系的输出方程 所组成。 下面以一个由电容、电感等储能元件组成的二阶RLC电网络系统为例,说明状态空间模型的建立和形式,然后再进行一般的讨论。;例 某电网络系统的模型如图所示。 试建立以电压ui为系统输入,电容器两端的电压uC为输出的状态空间模型。;2. 选择状态变量。 状态变量的个数应为独立一阶储能元件的个数。 对本例 x1(t)=iL, x2(t)=uC 3. 将状态变量代入各物理量所满足的方程,整理得一规范形式的一阶矩阵微分方程组--状态方程。 每个状态变量对应一个一阶微分方程,导数项的系数为1,非导数项列写在方程的右边。;对本例,经整理可得如下状态方程;其中;由上述例子,可总结出状态空间模型的形式为;对前面引入的状态空间模型的意义,有如下讨论: 状态方程描述的是系统动态特性, 其决定系统状态变量的动态变化。 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况, 它主要决定系统的动态特性。 输入矩阵B又称为控制矩阵, 它表示输入对状态变量变化