微分方程普通解法.docVIP

微分方程的解法 1. 微分方程的基本概念 常微分方程, 微分方程的阶, 微分方程的解、通解, 初始条件和特解的概念。 2. 一阶微分方程 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 会解齐次方程和贝努利方程并从中领会变量代换求解微分方程的思想。 3. 可降阶的高阶方程 会,,的降阶解法。 4. 二阶线性微分方程 理解二阶线性微分方程解的结构。 掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法，了解高阶常系数线性齐次微分方程的解法。 会求非齐次项形如 , 的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。 5.例题 例 验证函数是微分方程的解。 解 将和代入的左边得 , 所以是方程的解。 ? 例 求微分方程的通解。 解 这是可分离变量的微分方程, 分离变量得,解此方程如下: . 即得通解为 . ? 例 求微分方程的通解。 解 这是齐次方程,即，令 得,分离变量得解得 即 . ? 例 求微分方程的通解。 解 这是一阶线性非齐次微分方程 , . 由公式可得通解为,即 . ? 例 微分方程的解。 解 对方程两端积分三次得 , , . ? 例 求微分方程满足条件 , 的特解。 解 这是型的，设，代入原方程得 , 积分得 . 即 ,由得 ,所以 , 再积分得,由得 . 于是所求特解为 . ? 例 求微分方程满足条件,的特解。 解 这是型的，设，代入原方程得 , 积分得 . 即 ,由得,所以,再积分得,由得 .于是所求特解为 (或). ? 例 求微分方程的通解。 解 这是二阶常系数线性齐次微分方程,对应的特征方程为 , 解得的特征根为 , 原方程的通解为 . ? 例 求微分方程的通解。 解 对应的齐次方程的通解为. 又因,即,,不是特征根,所以可设原方程的一个特解为,代入得 , 比较两边同次幂的系数得 ,,,所以得 . 故所给方程的通解为 . ? 例 设函数连续,且满足 , 求. 解 由题设得 , ,即 (1) 且 , (2) 和(1)对应的齐次方程的通解为 . 由于,它不是特征根,可设方程(1)的特解为,代入(1)式得,即得.于是(1)的通解为 . 由(2)可得 , 故所求的为 . ? 例 求微分方程的通解。 解 对应的齐次方程的特征方程为，解得.对应的齐次方程的通解为. 又因,即,,???是特征根,所以可设原方程的一个特解为,代入原方程得,所以得. 故所给方程的通解为 .