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直线方程浅析 眉山市多悦高中 从教材内容来看，直线方程既是二元一次方程知识的延续（数形结合），又与一次函数的知识相契合，并且通过集合与对应的数学思想，构建了平面上的直线与的一次方程的一一对应关系.它与圆的方程同属解析几何学知识，不但是进一步学习圆锥曲线以及曲线方程的基础，也是学习导数、微积分的基础，在解决许多实际问题中有着广泛的应用。用图表示如下： 从知识内容看，直线的方程是研究两条直线的位置关系的基础，同时也是讨论圆的方程的基础，为进一步学习“曲线与方程”作铺垫，故直线的方程是教材的重点内容之一. 由于利用集合对应的数学思想，构建平面上直线与关于的二元一次方程的一一对应，这需要从正反两方面阐述，且这里的二元一次方程都是字母系数，需要结合分类讨论的数学思想加以阐述， 一、倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角. 当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°. 因此，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα（α≠90°）；倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）. 二、求直线斜率的方法： ①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα. ②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=. ③方向向量法：若=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=. 平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率. 对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank；k＜0时，α=π+arctank. 三、直线方程的五种形式： ①点斜式：，直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为. ②斜截式：， A．斜截式是??斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便. B．斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式. C．斜截式中，，的几何意义：b为直线在y轴上的截距 ③两点式：，倾斜角是或的直线不能用两点式公式表示.若要包含倾斜角为或的直线，两点式应变为的形式. ④截距式：，过A(,0) B(0, )　（,均不为0）的直线方程叫做直线方程的截距式. ,表示截距，它们可以是正，也可以是负，也可以为0.当截距为零时，不能用截距式. ⑤一般式：. 例1 过点P(2，1）作直线交正半轴于AB两点，当取到最小值时，求直线的方程. 解：设直线的方程为： 令＝0解得；令＝0，解得 ∴A（，0），B（0，）， ∴＝ 当且仅当即时，取到最小值. 又根据题意，∴ 所以直线的方程为： 评述：此题在求解过程中运用了均值不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除＝1的情形 例2 过点(2,1)作直线分别交x,y轴正并轴于A，B两点. (1)当ΔAOB面积最小时，求直线的方程; (2)当|PA|?|PB|取最小值时，求直线的方程. 解：(1)设所求的直线方程为(a0,b0), 由已知. 于是=,∴SΔ AOB=?4, 当且仅当,即a=4,b=2时取等号, 此时直线的方程为,即x+2y─4=0. (2)解法一:设直线:y─1=k(x─2),分别令y=0,x=0,得A(2─,0), B(0,1─2k). 则|PA|?|PB|==?4,当且仅当k2=1,即k=±1时,取最小值, 又k0,∴k=─1, 此时直线的方程为x+y─3=0. 解法二: 如图,设∠PAO=θ,则|PA|=1/sinθ, |PB|=2/cosθ(0θπ/2), ∴|PA|?|PB|=2/(sinθcosθ)=4/sin2θ?4, ∴当且仅当sin2θ=─1即θ=3π/4时，|PA|?|PB|取最小值4,此时直线的斜率为─1,方程为x+y─3=0. 点评：本题分别选用了截距式和点斜式，应根据条件灵活选用直线方程. 例3 若直线通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件( ) A.A、B、C同号 B.AC＜0，BC＜0 C.C＝0，AB＜0 D.A＝0，BC＜0 解法一：原方程可化为（B≠0） ∵直线通过第二、三、四象限， ∴其斜率小于0，轴上的截距小于0，即－＜0，且－＜0 ∴＞0，且＞0 即A、B同号，B、C同号.∴A、B、C