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数学 金手指.doc
直线方程浅析
眉山市多悦高中
从教材内容来看,直线方程既是二元一次方程知识的延续(数形结合),又与一次函数的知识相契合,并且通过集合与对应的数学思想,构建了平面上的直线与的一次方程的一一对应关系.它与圆的方程同属解析几何学知识,不但是进一步学习圆锥曲线以及曲线方程的基础,也是学习导数、微积分的基础,在解决许多实际问题中有着广泛的应用。用图表示如下:
从知识内容看,直线的方程是研究两条直线的位置关系的基础,同时也是讨论圆的方程的基础,为进一步学习“曲线与方程”作铺垫,故直线的方程是教材的重点内容之一.
由于利用集合对应的数学思想,构建平面上直线与关于的二元一次方程的一一对应,这需要从正反两方面阐述,且这里的二元一次方程都是字母系数,需要结合分类讨论的数学思想加以阐述,
一、倾斜角的定义
在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角.
当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0°. 因此,直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
倾斜角α不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k表示,即k=tanα(α≠90°);倾斜角是90°的直线没有斜率;倾斜角不是90°的直线都有斜率,其取值范围是(-∞,+∞).
二、求直线斜率的方法:
①定义法:已知直线的倾斜角为α,且α≠90°,则斜率k=tanα.
②公式法:已知直线过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),且x1≠x2,则斜率k=.
③方向向量法:若=(m,n)为直线的方向向量,则直线的斜率k=.
平面直角坐标系内,每一条直线都有倾斜角,但不是每一条直线都有斜率.
对于直线上任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),当x1=x2时,直线斜率k不存在,倾斜角α=90°;当x1≠x2时,直线斜率存在,是一实数,并且k≥0时,α=arctank;k<0时,α=π+arctank.
三、直线方程的五种形式:
①点斜式:,直线的斜率时,直线方程为;当直线的斜率不存在时,不能用点斜式求它的方程,这时的直线方程为.
②斜截式:,
A.斜截式是??斜式的特殊情况,某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.
B.斜截式在形式上与一次函数的表达式一样,它们之间只有当时,斜截式方程才是一次函数的表达式.
C.斜截式中,,的几何意义:b为直线在y轴上的截距
③两点式:,倾斜角是或的直线不能用两点式公式表示.若要包含倾斜角为或的直线,两点式应变为的形式.
④截距式:,过A(,0) B(0, ) (,均不为0)的直线方程叫做直线方程的截距式. ,表示截距,它们可以是正,也可以是负,也可以为0.当截距为零时,不能用截距式.
⑤一般式:.
例1 过点P(2,1)作直线交正半轴于AB两点,当取到最小值时,求直线的方程.
解:设直线的方程为:
令=0解得;令=0,解得
∴A(,0),B(0,),
∴=
当且仅当即时,取到最小值.
又根据题意,∴
所以直线的方程为:
评述:此题在求解过程中运用了均值不等式,同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除=1的情形
例2 过点(2,1)作直线分别交x,y轴正并轴于A,B两点.
(1)当ΔAOB面积最小时,求直线的方程;
(2)当|PA|?|PB|取最小值时,求直线的方程.
解:(1)设所求的直线方程为(a0,b0),
由已知.
于是=,∴SΔ AOB=?4,
当且仅当,即a=4,b=2时取等号,
此时直线的方程为,即x+2y─4=0.
(2)解法一:设直线:y─1=k(x─2),分别令y=0,x=0,得A(2─,0), B(0,1─2k).
则|PA|?|PB|==?4,当且仅当k2=1,即k=±1时,取最小值,
又k0,∴k=─1, 此时直线的方程为x+y─3=0.
解法二: 如图,设∠PAO=θ,则|PA|=1/sinθ, |PB|=2/cosθ(0θπ/2),
∴|PA|?|PB|=2/(sinθcosθ)=4/sin2θ?4,
∴当且仅当sin2θ=─1即θ=3π/4时,|PA|?|PB|取最小值4,此时直线的斜率为─1,方程为x+y─3=0.
点评:本题分别选用了截距式和点斜式,应根据条件灵活选用直线方程.
例3 若直线通过第二、三、四象限,则系数A、B、C需满足条件( )
A.A、B、C同号 B.AC<0,BC<0 C.C=0,AB<0 D.A=0,BC<0
解法一:原方程可化为(B≠0)
∵直线通过第二、三、四象限,
∴其斜率小于0,轴上的截距小于0,即-<0,且-<0
∴>0,且>0
即A、B同号,B、C同号.∴A、B、C
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