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整体思想的应用及解题策略.doc
整体思想的应用及解题策略
有一些数学问题,如果从局部入手,难以各个突破,但若能从宏观上进行整体分析,运用整体思想方法,则常常能出奇制胜,简捷解题。
整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想的主要表现形式有:整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等.在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面,整体思想都有很好的应用,因此,每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题,尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.下面就初中数学中整体思想的应用及解题策略谈一些看法和体会.
一、整体代换
整体代换是根据问题的条件和结论,选择一个或几个代数式,将它们看成一个整体,灵活地进行等量代换,从而达到减少计算量的目的。
例1:已知,,,且=24,求的值。
解析:由已知解出、、的值再代入求解,计算将很复杂,因此选择如下的整体代换:
由已知可得:,,则
原式=
二、整体设元
整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分,从而达到化繁为简、化难为易的目的。
例2:计算:
解析:本题数据较多,直接计算显然无法进行,注意到题中出现的相同算式,因而考虑整体设元。设,则原式=
三、整体变形
整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理,使之呈现规律性结构形式,从而达到简化问题或减少运算量的目的。
例3:计算:
解析:观察式子特点,用凑整法可简化运算。
原式
=
四、整体补形
整体补形是补充完整,根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形,沟通题设条件与特殊的图形之间的关系,从而突出问题本质,找到较简洁的解法或证法。
例4:如图,在四边形中,,求四边形的面积。
解析:这是一个不规则的四边形,欲求它的面积,可把它补成三角形或规则的四边形,所求图形的面积恰是两个图形面积的差。
延长相交于点,如图1
在中,
在中,
说明:本题还可以把原四边形补成一个??形、直角梯形、等边三角形或平行四边形,如图2—图5。
五、整体配凑
整体配凑是将问题中的条件和结论进行适当的配凑,使之结构形式特殊化、公式化,再利用相关性质进行求解,以达到解答问题的目的。
例5:若,且,则___
解析:要求的值,需求、、的值,但已知等式只有两个,若按常规方法是无法解决的,注意到,可采取整体配凑的方法,借助于非负数的性质,找出、、之间的关系,再利用就可以求出、、的值。事实上,由,有,即,故,将之代入有,故
六、整体构造
整体构造是把问题中某些代数式,赋予具体的几何意义,构造出几何图形,利用数形结合的思想来解答问题。
例6:已知试求的最小值。
图6
解析:作出图6,赋予以上式子如下的几何意义,,所以求的最小值,即求的最小值,当三点共线时值最小,最小值为。
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