2012届总复习_走向清华北大_32一元二次不等式.pptVIP

第三十二讲 一元二次不等式及其解法;名师指导·练基础; 回归课本 1.一元二次不等式的定义 只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.;2.一元二次不等式的解集如下表; 分式不等式解法的实质是转化,把分式不等式转化为整式不等式来求解,需要注意分式有意义即分母不为零,也可将分式不等式转化为两个不等式的交集,继而求出其解集.;4.用一个程序框图来描述一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的求解的算法过程;考点陪练 1.(2010·大连模拟题)不等式x(1-x)0的解集为( ) A.{x|x-1或x0} B.{x|-1x0} C.{x|0x1} D.{x|x0或x1} 解析:利用数轴标根法可得0x1.所以选C. 答案:C;2.(2010·南昌调研题)若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈(0,1]恒成立,则a的取值范围为( ) A.[0,+∞) B.[-4,+∞) C.[-5,+∞) D.[-4,4];答案:C;3.(2010·海口调研题)若a0,a+b+c0,则下列结论一定成立的是( ) A.b24ac B.b24ac C.b2≤4ac D.不能确定 解析:构造二次函数f(x)=ax2+bx+c,∵a0,f(1)=a+b+c0,∴抛物线与x轴一定有两个交点,则Δ=b2-4ac0,故选B. 答案:B;答案:A;5.若关于x的不等式x2-ax-a0的解集为(-∞,+∞),则实数a的取值范围是________;若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是________. 解析:由Δ10即a2-4(-a)0得-4a0; 由Δ2≥0即a2-4(3-a)≥0得a≤-6或a≥2. 答案:(-4,0) (-∞,-6]∪[2,+∞);名师讲解·练思维;类型一 一元二次不等式的解法 解题准备:解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形,使一端为0且二次项系数大于0,即ax2+bx+c0(a0),ax2+bx+c0(a0). (2)计算相应的判别式. (3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根. (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集.;【典例1】 解下列不等式: (1)2x2+4x+30; (2)-3x2-2x+8≤0; (3)8x-1≥16x2. [分析] 首先将二次项系数转化为正数,再看二次三项式能否因式分解,若能,则可得方程的两根,大于号取两边,小于号取中间,若不能,则再看“Δ”,利用求根公式求解方程的根,而后写出解集.;类型二 含有参数的一元二次不等式的解法 解题准备:1.含参数的一元二次不等式中关于字母参数的取值范围问题,主要考查一元二次不等式的解与系数的关系以及分类讨论的数学思想. 2.含有参数的不等式的求解,往往需要比较相应方程的根的大小,对参数进行讨论.; 3.含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论.若不易因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏.若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系数不为零时的情形,以便确定解集的形式.然后对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.;【典例2】 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10.; [反思感悟] 解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即Δ的符号进行分类,最后在根存在时,根据根的大小进行分类.;类型三 一元二次不等式恒成立问题 解题准备:1.不等式ax2+bx+c0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时,b=0,c0;当a≠0时, 2.不等式ax2+bx+c0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时,b=0,c0;当a≠0时, 3.f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a;f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a. 4.讨论形如ax2+bx+c0的不等式恒成立问题,必须对a=0或a≠0分类讨论,避免产生漏解.;【典例3】 已知不等式mx2-2x+m-20. (1)若对于所有的实数x不等式恒成立,求m的取值范围; (2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围. [分析] (1)讨论m是否为零,可结合二次函数的图象求解;(2)看作关于m的一次函数,利用其单调性求解.; [解] (1)对所有实数x,都有不等式mx2-2x+m-20恒成立,即函数f(x)=mx2-2x+m-2的图象全部在x轴下方. 当m=0时,-2x-20,显然对任意x不能恒成立; 当m≠0时,由二次函数的图象可知有 解得 综上可知m的范围是(-∞,1-