5.4基本不等式和其应用.pptVIP

高考复习基本不等式及其应用 要点梳理 1.算术平均数与几何平均数 对于正数a,b，我们把 称为a,b的算术平均 数， 称为a,b的几何平均数. 2.基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： . （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. （3）结论：两个正数a,b的算术平均数 其 几何平均数.;;基础自测 1.已知ab≠0，a,b∈R，则下列式子中总能成立的 是 . 解析 ①中不能保证 为正，③中 未必为负，②显然错误.;;3.已知 的最小值为 . 解析 即x=10，y=6时，xy有最小值60. 4.设x,y为正数，则 的最小值为 . 解析 ∵ ≥5+2×2=9当且仅当y=2x时取得最小值9.;【例1】（1）已知a0,b0,a+b=1,求证： (2)已知x,y,z是互不相等的正数，且x+y+z=1, 求证： 证明 （1）∵a0,b0,a+b=1, 所以原不等式成立. （2）∵x、y、z是互不相等的正数，且x+y+z=1, ;将①②③三式相乘，得;跟踪练习1 （1）已知x0,y0,z0. 求证： (2)求证：a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c). 证明 （1）∵x0,y0,z0, （当且仅当x=y=z时等号成立） ;;【例2】 （1）已知x0,y0，且 求x+y 的最小值； （2）已知x ,求函数 的最 大值； （3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最 小值. （1）注意条件中“1”的代换，也可用三 角代换. （2）因为4x-50，所以要先“调整”符号； 又(4x-2)· 不是常数，所以对4x-2要添 项“配凑”. ;;;;【例3】 （1）已知x0,y0,lg x+lg y=1，求 的最小值. （2）设x-1，求函数 的最值. ①由lg x+lg y=1可得xy=10为定值. ②可化为 的形式再用基本不等式. （1）解 方法一 由已知条件lg x+lg y=1, 可得xy=10. 则 当且仅当2y=5x，即x=2,y=5时等号成立.;;;【例4】（14分）某养殖厂需定期购买饲料，已知 该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格 为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克 每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元. （1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每 天支付的总费用最少？ （2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料 不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即为原 价的85%）.问该厂是否可以考虑利用此优惠条 件？请说明理由.;;;;;思想方法 感悟提高 高考动态展望 从近几年的高考试题看，基本不等式 的应用一直是高考命题的热点，在填空题、解答题中都有可能出现，一是运用基本不等式证明不等式；二是利用基本不等式求函数的最值（或值域）.今后高考命题仍会考查基本不等式的应用，且以考查求函数的最值为主要命题方向.基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，它的应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等.;;定时检测 一、填空题 1.（2009·山西阳泉期末）函数y=log2x+logx(2x) （x≠1）的值域是 . 解析 y=log2x+logx(2x)=1+(log2x+logx2), 如果x1，则log2x+logx2≥2， 如果0x1，则log2x+logx2≤-2， ∴函数的值域为（-∞,-1］∪［3,+∞).;2.（2009·大连一模）已知0x1，则x(3-3x)取 得最大值时x的值为 . 解析 ∵0x1,∴x(3-3x)=3x(1-x);3.（2010·四平调研）已知x0,y0,x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则 的最小值是 . 解析 由x、a、b、y成等差数列知a+b=x+y ① 由x、c、d、y成等比数列知cd=xy