ch3_1_2离散傅里叶级数.pptVIP

第03章 离散傅里叶变换及其快速算法;内容提要;一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、相关都可以通过DFT在计算机 上实现。;二.傅氏变换的几种可能形式 (1).连续时间、连续频率的傅氏变换--FT ;时域信号;(2).连续时间、离散频率傅里叶变换--FS;时域信号; (3).离散时间、连续频率的傅氏变换--DTFT ;时域信号;;3.1??离散傅里叶级数及其性质;因此，对于离散傅里叶级数，只取下标从0到N-1的N个谐波分量就足以表示原来的信号。这样可把离散傅里叶级数表示为 ;由复指数序列的正交性：;令;DFS总结:;3.1.2??离散傅里叶级数的性质;证明;3．周期卷积;周期卷积的计算：;返回;周期卷积小结:;3.2 离散傅里叶变换及其性质;显然有;例如： (1) (2);同理，可以认为周期序列 的DFS系数 是有限长序列X(k)周期延拓的结果，而 X(k)是 的主值序列。即 ;由此便可以得出有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)的表示式为:;在一般情况下，X(k)是一个复量，可表示为;解：;例 已知;将x(n)的Z变换;DFT与DTFT的关系;DTFT与ZT的关系;序列x(n)的DFT就是其ZT在单位圆上的等角距取样。;例 已知复序列 x(n)=xr(n)+jxi(n)，其中xr(n),xi(n)是实序列。序列x(n)的ZT－X(z)的单位圆的下半部(p≤w2p)为0。求x(n)的DFT－X(k)后一半的值，请说明理由。;例 已知序列;x(n)的4点DFT为：;x(n)的8点DFT为：;x(n)的16点DFT为：;4;;对比：;离散傅里叶变换(DFT)总结;N/2点的DFT: ;旋转因子 的性质 ;例. 令X(k)表示N点序列x(n)的N点DFT，X(k)本身也是一个N点序列，如果计算X(k)的DFT得到一个序列x1(n)，试用x(n)求x1(n)。;∴;3.2.2 离散傅里叶变换的性质;对于长为N的复序列x(n)，;这意味着;3．序列的循环移位 ; 从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出，当主值序列左移m个样本时，从右边会同时移进m个样本，而且好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来。因此取名“循环移位”。 显然，循环移位不同于线性移位。 ;将序列右移：;序列循环移位后的DFT为 ;例.已知;;几种变换的时移性质汇总： ;4．循环卷积 ;证明：;循环卷积的计算是对序列按循环移位后求对应项的乘积之和，实际上就是周期卷积取主值。;循环卷积的计算过程： x1(n)的N个值按顺时针方向均匀分布在内圆周上，x2(n)的N个值按反时针方向均匀分布在外圆周上，把内外圆周上对应的数值两两相乘，然后把乘积相加就得到y(0)。若将外圆周顺时针方向转动一格(如图3.6(b)所示)，将内外圆周上对应的数值两两相乘并把乘积相加，便得到y(1)。依次类推，可以得出y(n)的其它值。 循环卷积也叫做圆卷积或圆周卷积。;;考虑到DFT关系的对偶性，可以证明，长为N的两序列之积的DFT等于它们的DFT的循环卷积除以N，即 ;＊;循环卷积小结: ①循环卷积的过程与周期卷积一样，只取周期卷积的主值； ②循环卷积隐含周期性； ③循环卷积在主值区间内进行，参与卷积的两个序列的长度和结果序列的长度均相等； ④线性卷积与循环卷积计算步骤比较： 线性卷积：折叠、平移、相乘、相加； 循环卷积：周期化、折叠、平移、取主值、相乘、相加。;线性卷积：不受主值区间限制,对序列长度无要求 周期卷积：是线性卷积的周期延拓 循环卷积：是周期卷积的主值,要求两个序列长度相等。 例如???两个长度都为N的因果序列的循环卷积仍是一个长度为N的序列，而它们的线性卷积却是一个长度为2N-1的序列。;