微分方程和其应用的基础知识.ppt

微分方程及其应用;6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法 ;一般地，n 阶微分方程的一般形式为： ;一般地 一阶微分方程的初始条件为： 二阶微分方程的初始条件为： ;中含有一个任意常数C，而所给方程又是一阶微分方程， ;6.1.2 分离变量法 1．定义 形如 ;当g(y)≠0时，两端积分得通解 ; 说明：在解微分方程时，如果得到一个含对数的等式，为了 利用对数的性质将结果进一步化简，可将任意常数写成klnC的形 式，k的值可根据实际情况来确定，如例2中取k=1/2. ;例5 设降落伞从跳伞台下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞 离开塔顶(t = 0)时的速度为零。求降落伞下落速度与时间的函 数关系. 解 设 降落伞下落速度为v(t)时伞所受空气阻力为-k （负号表示阻力与运动方向相反（k为常数） 伞在下降过程中还受重力P = mg作用， ;; 由此可见，随着t的增大，速度趋于常数mg/k，但不会超过 mg/k，这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀 速运动. ;6.2 一阶线性微分方程;3．一阶线性齐次方程的解法 ; 在方程（1）所对应的齐次方程的通解的基础上进行变易, 假设方程（1）有如下形式的解： ;于是方程(1)的通解为：;① ;将C(x)代入式③ 得原方程的通解： ;例3　在串联电路中，设有电阻R，电感L和交流电动势E = E0sinωt， 在时刻t = 0时接通电路，求电流i与时间t的关系（E0,ω为常 数）．;式①为一阶非齐次线性方程的标准形式，其中 ;6.2.2 可降阶的高阶微分方程 ;;解 令y’= t，则y″= t’， ;例6 如图，位于坐标原点的我舰向位于x轴上B(1,0)点处的敌舰发 射制导鱼雷，鱼雷始终对准敌舰．设敌舰以常速v0沿平行于 y 轴的直线行驶，又设鱼雷的速率为2v0，求鱼雷的航行曲线方程． ;令y’= p，方程可化为 ;所以;从而将原方程化为一阶微分方程： ;　显然，它已含在解 ;6.3 二阶常系数线性微分方程;k1 y1 + k2 y2 = 0成立，则称y1与y2在 (a,b)内线性相关， 否则称为线性无关．; 若y1与y2是齐次线性方程(2)的两个解，则y = C1 y1+C2 y2也是 (2)的解，且当与线性无关时，y = C1 y1+C2 y2就是式(2)的通解． 证 将y = C1 y1+ C2 y2 直接代入方程(2)的左端，得 ; 若yp为非齐次线性方程(1)的某个特解，yc为方程(1)所对应 的齐次线性方程(2)的通解，则 y = yp+ yc为非齐次线性方程 (1) 之通解． 证　 将y = yp+ yc代入方程(1)的左端有 ;定理3 若y1为方程 ;令方程(2)的解为 ;由上面的讨论知道 ;又 r是特征方程的二重根， ;为了求出方程(2)的两个实数形式的解，利用欧拉公式 ;即;;因此，方程的通解为 ;;;;;将它代入式(6)， 确定Q m(x)的系数;根据欧拉公式及前面分析的结果可以推出下面的结论（讨论过程 从略）： ;　解 原方程对应的齐次方程的特征方程为 ;所以;代入原方程后化简得： ;代入原方程得： ;故所给方程的通解为 ;由线性微分方程解的结构定理可知，所给方程的特解形式为;6.4 常微分在经济应用 ;;