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第 五 章 大数定律和中心极限定理
第二节 中心极限定理
1、中心极限定理的定义
2、列维-林德伯格中心极限定理
3、棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理
4、小结、思考
5.2 中心极限定理 1 Probability Theory
一、中心极限定理一、中心极限定理
设随机变量设随机变量 XX ~~ NN(0,1)(0,1),,{{XXk}},,kk == 1,2,1,2,……相互独相互独
立,且数学期望和方差都存在立,且数学期望和方差都存在,, 若标准化随机变量序列若标准化随机变量序列
n n
∑ X k ? ∑ E ( X k )
k = 1 k = 1
n
∑ D ( X k )
k = 1
依分布收敛于依分布收敛于 XX ,,则称随机变量序列则称随机变量序列{{ XXk }},,kk == 1,2,1,2,……
服从服从中心极限定理中心极限定理。。
5.2 中心极限定理 2 Probability Theory
若随机变量序列若随机变量序列{{ XXk }},,kk == 1,2,1,2,……满足中心极限定满足中心极限定
理,有理,有
? n n ?
? X ? E ( X ) ?
? ∑ k ∑ k ?
lim P k = 1 k = 1 ≤ x
n → ∞ ? n ?
? D ( X ) ?
? ∑ k ?
? k = 1 ?
= Φ ()x
n
即 的标准化随机变量的极 限分布为标准正态分布
∑ X k .
k =1
5.2 中心极限定理 3 Probability Theory
当当nn 足够大时足够大时::
n n
∑ X k ? ∑ E ( X k )
k = 1 k = 1 ~ N (0 ,1)
n
∑ D ( X k )
k = 1
近似成立,从而近似成立,从而
n ? n n ?
X
∑ k ~ N ? ∑ E ( X k ), ∑ D ( X k ) ?
k = 1 ? k = 1 k = 1 ?
近似成立。近似成立。
5.2 中心极限定理 4 Probability Theory
二二.. 中心极限定理中心极限定理
11 独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理
设设{{ XXk }},,kk =1,2=1,2……是一个是一个相互独立相互独立、具有、具有同分布同分布的的
2
随机变量序列,且随机变量序列,且EE(( XXk )) == μμ,, DD(( XXk )) == σσ 。。
则随机变量序列则随机变量序列{{ XXk }}满足中心极限定理,即有满足中心极限定理,即有
? n ?
?
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