数学物理方程_第1章_2012.ppt

数学物理方程;定义: 主要是指从物理学及其他各门自然科学、技术 科学中所产生的偏微分方程(有时也包括积分 方程、微分积分方程等), 例如 特点: 反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于 空间变量的导数之间的制约关系。 范畴: 连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基 本方程都属于数学物理方程的范围。;“一切科学的理论，总是从实践中来，又回到实践中去，接受检验，指导实践，同时在实践中丰富和发展自己。” ;数学;课 程 概 览;第一章 波动方程;基本假设： 1. 弦是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。 弦可以视为一条曲线，线密度为常数。 2. 弦在某平面内作微小横振动。弦的位置始终在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。;用u(x, t)表示弦点在时刻t沿垂直于x轴的位移。;（3）对于图中选取的弦段而言，张力在x轴垂直 方向上的合力为：;从而有;二维波动方程（如薄膜振动）; 弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位移函数u(x, t)所应满足的一般性规律。仅仅利用它并不能完全确定一条弦的具体运动状况。这是因为弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状况有关系，因此对于具体的弦振动问题而言，还需要结合实际问题附加某些特定条件。 在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和x=l两点，即 u(0, t)=0 ， u(l, t)=0， 这两个等式称为边界条件。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为;对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为：;弦振动方程的边界条件通常还可以有以下两种：;偏微分方程的分类 ; 分类依据：阶数、线性性质、齐次性。 阶：偏微分方程所含有的未知函数最高阶导数的阶数 线性方程：方程对于未知函数及其各阶导数总体来说是线性的。 方程（1）,（2）,（3） 拟线性方程：方程对未知函数的最高阶导数总体来说是线性的。 方程（4）,（5） 完全非线性方程：方程对未知函数的最高阶导数不是线性的。 方程（6） 齐次性：以方程（1）为例，函数 f (x,y,z,t)与未知函 数无关（自由项），若该项恒为零，则该 方程为齐次方程。反之，为非齐次方程。 边界条件和初始条件也有齐次和非齐次之分。;3. 定解问题适定性概念;§1-2 达朗贝尔（d’Alembert）公式、波的传播;2. 弦振动方程的达朗贝尔解法; 下面，我们求解上述初值问题。首先注意到微分方程及定解条件都是线性的。对于这种定解问题，同样存在叠加原理，即若u1(x, t)和u2(x, t)分别是下述初值问题; 首先，我们考察代表自由振动情况的初值问题(I)，它可以通过自变量变换的方法求解。引如新自变量：ξ=x-at， η=x+at。利用复合函数求导的法则，有; 利用这个通解表达式，就可以利用初始条件(2.8)来决定函数F和G，进而求出初值问题(I)的解。把上述通解表达式代入初始条件(2.8)，得到：; 这个公式(2.19)称为达朗贝尔公式。从以上推导过程可以看出：如果初值问题(I) 有解，则解一定可以根据初始条件由达朗贝尔公式表达出来，因此该问题的解是唯一的。 同时，若函数φ(x)在求解区域内具有二阶连续偏导数，ψ(x)在求解区域内具有一阶连续偏导数，那么可以验证公式(2.19)给出的的确是初值问题(I)的解。存在性 另外，初值问题(I)的解关于初始条件的连续依赖性也可以很容易地从达朗贝尔公式中看出。稳定性; 如右图所示，在t=0时， ?(x,0)=F(x)，它对应于初始振动状态（弦在初始时刻各点位移状态）。经过时刻t0后， ?(x,t0)=F(x-at0)，在(x,u)平面上 ，它相当于原来的图形向右平移了一段距离at0。这说明振动的波形以常速度a向右传播。因此，齐次波动方程的形如F(x-at)的解所描述的运动规律称为右传播波，同样形如G(x+at)的解称为左传播波。并且，我们知道了方程(2.5)中的常数a实际上表示了波动的传播速度。（行波法）;4. 依赖区间、决定区域和影响区域; 另一方面，如果在初始时刻t=0，初始资料φ(x)和ψ(x)的值在区间[x1,x2]上有变动(初始扰动)。那么，经过时