数学转化和化归思想.ppt

1.化归思想方法:就是在研究和解决有关数学问题时, 采用某种手段或方法将问题通过变换使之转化,进而 达到使问题解决的一种方法,在解决数学问题时,常 遇到一些问题直接求解较为困难,需将原问题转化为 一个新问题(相对来说,对自己较为熟悉)通过对新问 题的求解,达到解决原问题的目的. 2.转化思想方法:是实现问题的规范化、模式化以便 应用已知的理论、方法和技巧,达到问题的解决,其 思维过程的形式如图.解题的过程就是“转化”的过 程,“转化”是解数学题的重要思想方法之一.; 3.转化具有多样性、层次性和重复性的特点,为了实 施有效的转化,既可以变更问题的条件,也可以变更问 题的结论;既可以变换问题的内部结构,又可以变换问 题的外部形式,这就是多样性.转化原则既可以应用于 沟通数学与各分支学科的联系,从宏观上实现学科间 的转化,又能调动各种方法与技术,从微观上解决多种 具体问题,这是转化的层次.而解决问题时可以多次的 使用转化,使问题逐次达到规范化,这是转化原则应用 的重复性.; 1.函数y=sin4x+cos2x的最小正周期是 （ ） A. B. C. D. 解析 ;2.在直角坐标系中,O是坐标原点, 动点P在直线x=3上运 动,若从动点P向Q点的轨迹引切线,则所引切线长的 最小值为 （ ） A.4 B.5 C. D. 解析 点Q的轨迹是以(-2,-2)为圆心,半径为1的圆, 要使所求切线长最小,只要使圆心到直线x=3的距 离最短即可. ;3.设椭圆 (a＞b＞0)的半焦距为c,直线l过 （0,a)和(b,0),已知原点到l的距离等于 ,则椭 圆的离心率为 （ ） 　A. B. C. D. 解析 直线方程为l:ax+by-ab=0, 所以 ， 变形为12e4-31e2+7=0,再解出 .;4.设O是坐标原点,A(1,1),若B(x,y)满足 ，则 取最小值时, 点B的个数 （ ） A.1 B.2 C.3 D.无数个 解析 点B（x,y）满足 画出可行域如图阴影部分,又A(1,1), B(x,y),令 =x+y=t，则由t得 几何意义可知，当过圆中B1、B2两点 时，t的值最小，此时tmin=3,所以 取最小值时,点B的个数为2.; 题型一 等与不等的转化与化归 【例1】若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取 值范围. 解 方法一（看成函数的值域） ∵ab=a+b+3， ∴ 即a＞1或a＜-3,又a＞0, ∴a＞1,故a-1＞0. 当且仅当 ,即a=3时取等号.;又a＞3时， 是关于a的单调增函数. ∴ab的取值范围是［9，+∞）. 方法二（看成不等式的解集） ∵a，b为正数， ∴ab≥9. 【探究拓展】将一个等式转化成不等式，是求变量取 值范围的重要方法，通常利用函数的单调性解答此类 问题，或者利用基本不等式解答这类问题.;变式训练1 已知三实数a,b,c成等比数列,且a+b+c=m (m是正常数)，求b的取值范围. 解 方法一 设三个实数为 由a+b+c=m,得 ;方法二 因为a,b,c成等比数列，所以b2=ac, 又a+b+c=m,所以 则a、c是关于x的方程x2-(m-b)x+b2=0的两个实数根, 所以Δ=［-(m-b)］2-4b2≥0,;题型二 正与反的转化与化归 【例2】试求常数m的范围,使曲线y=x2的所有弦都不 能被直线y=m(x-3)垂直平分. 解 由题意可知，m≠0， 所以设抛物线上两点 关于直线y=m(x-3) 对称，于是有：; 因为存在x1∈R使上式恒成立， 即12m3+2m2+1＜0, 也即(2m+1)(6m2-2m+1)＜0. 因为6m2-2m+1＞0恒成立, 所以2m+1＜0,所以 . 即当 时,抛物线上存在两点关于直线 y=m(x-3)对称. 所以当 时,曲线y=x2的所有弦都不能被直线 y=m(x-3)垂直平分