概率论与数理统计第四章讲义.ppt

数学期望; 第一节 数学期望; 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。; 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的。;起源：;帕斯卡;引例1 某车间对工人的生产情况进行考察。 车工小张每天生产的次品数X是一个随机变量。 如何确定小张每天生产的次品数的平均值呢？;可以想象，若另外统计100天，车工小张不出次品，出一件、二件、三件次品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均次品数也不一定是1.27。; ;注：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。数学期望是随机变量的平均值，与 X 的取值 x k 的顺序无关（唯一性），所以要求级数绝对收敛。;例4.1;解 设试开次数为X ,;一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望。;解：设旅客的候车时间为X（以分计，其分布率为）;二、连续型随机变量的数学期望;由此启发我们引进如下定义。;例4.4;若将这两个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命(以小时计) N 的数学期望。;的分布函数为;三、随机变量函数的数学期望;解; 那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？;(1) 当X为离散型时，它的分布率为P(X= xk)=pk ;;该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布，只需知道X的分布就可以了。;设随机变量X 的概率密度为; 某公司按季度销售某商品的量X 服从[2000，4000]上的均匀分布，销售1公斤获利3元，屯仓1公斤亏损1元，为获利最大，该公司应进货多少公斤？(最佳决策问题);求 S 使E( Y )最大;定理4.4 设( X , Y )是二维随机变量, g (X , Y )是二元连续函数Z=g(X,Y);已知(X,Y)的概率密度 ;1. 设C 是常数，则E(C )=C ;;五、几种重要分布的数学期望 ;Ⅱ. X为连续型随机变量;⑶ 正态分布; 已知X~N(2,4)，Y服从参数为3的指数分布，X , Y相互独立，U=3X-6Y+9，V=XY+2X-3Y。求E(U)，E(V)。;求二项分布的数学期望。; 把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望。; 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数，求E(X)。(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立); 第二节 方 差; ;引例: 甲、乙两个合唱队都由5名成员组成，身高如下：;又如，甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：;由此可见，研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的。那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢？容易看到;一、方差的定义 ;方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。;由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=[X-E(X)]2 的数学期望。;解; ;解 ;解;三、方差的性质;下面我们证明性质3;设X~B(n，p)，求E(X)和D(X)。;于是;解; 设 X , Y 是两个相互独立的且服从正态分布的随机变量 , 且X~N(-3,1)，Y~N(2,1) ，则求随机变量Z=X-2Y+7服从什么分布？; 设 X , Y 是两个相互独立的且均服从正态分布N(0,1/2)的随机变量 , 则求随机变量|X-Y|的数学期望。; 设 X 的可能取值为x1=-1，x2=0，x3=1，且E(X)=0.1， D(X)=0.89，求 X 的分布律。;解 由题意可知;设U~[-2,2] ，且;⑵ X+Y 的分布律为; 第三节 协方差和相关系数;问题 对于二维随机变量(X ,Y ):;⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) ; Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) ;D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y);二、相关系数;1);则;证 ⑵;说 明; 设随机变量Y是X的线性函数Y=aX+b，则求 X 和 Y 的相关系数。;不相关： X 与Y 之间没有线性关系，并不表示它们之间没有任何关系。;设随机变量(X,Y)的概率密度为;⑵ 求X 和Y 的相关系数 ;若(X,Y )服从二