最优控制和状态估计7.ppt

第一部分、最优控制;采用状态方程表示，令;问题 2：;最优控制问题的一般性提法为;第一章、用变分法求解最优控制问题;泛函 如果满足以下条件时，称为线性泛函：;3、泛函变分的规则;4、泛函的极值;;欧拉方程：;证明：让自变量函数 、 在极值曲线 、 附近发生微小变分 、 ，即; 根据定义，泛函的变分 是 的线性主部，即; J 取极值的必要条件是 等于零。因 是任意的，要使上式中第一项（积分项）为零，必有;二、用变分法求解最优控制问题;引入拉格朗日乘子;（12）;将上式改写成;几点说明：;可见（21）式和（18）式相同，（22）式和（19）式相同。因此，（14）式和（17）就是欧拉方程，而（7）式和（15）就是横截条件。;3） 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化率; 即哈密顿函数H 沿最优轨线对时间的全导数等于它对时间的偏导数。记为 则;初始条件;由控制方程;2 末值时刻固定，末端状态固定情况下的最优控制;引入哈密顿函数;令性能指标J 的一次变分等于零，得;例 2 问题 1的系统状态方程为;解 根据能控性判据知，该系统是能控的;3）由伴随方程 ，得到;根据边界条件，确定积分常数，得; 3 末值时刻自由情况下的最优控制;于是;应当注意，末值时刻 自由时， 不等于 ;性能指标取极值时，必有;（40）;2）由控制方程 ，得;5）由于 自由， ，得到;第二章、用极小值原理求解最优控制问题;二、 极小值原理;以下就是用极小值原理解前面的问题：;则哈密顿函数H 相对最优控制取极小值，即;三、 二次积分模型的快速控制; 要求在状态方程约束下，寻求满足（55）式的最优控制 ，使系统从 转移到 ，同时使J 取极小值。;3）伴随方程为;4）由状态方程可知，当 时，求得;从 到达 的相轨迹只有两条 、 。;当初始状态 位于 ： 为 （+1，－1）;5）最优性能指标;第三章、 用动态规划法求解最优控制问题;第二个办法：从最后一段开始，向前倒推。当倒推到某一站时，计算该站到终点站的总里程，并选择里程最少的走法。;从该例看出，这种解法有两个特点: 第一，它把一个复杂的问题（即：决定一条路线的选择问题）变成许多个简单的问题（即：每次只决定向上走（p）还是向下走（q）的问题），因此问题的求解变得简单容易了。;二、 最优性原理;一般认为，第k 级决策 与第k 级以及k 以前各级状态 和决策 有关;三、 用动态规划法求解离散系统最优控制问题;例 4 线性定常离散系统的状态方程为;2） 向前倒推一级，即;3） 再向前倒推一级，即;四、 用动态规划法求解连续系统最优控制问题; 如果对于初始时刻 和初始状态 来说， 和 是系统的最优控制和最优轨线。那么，对于 和状态 ，它们仍是所研究的系统往后的最优控制和最优轨线。;用类似的处理方法，令;而由中值定理，（76）式右边第一项可以写成;显然有;用动态规划法求解连续系统最优控制问题的步骤：;（86）;2）将 代入哈密顿－贝尔曼方程;3）将 代入 的表达式中;第四章、线性二次型最优控制问题;二、 有限时间状态调节器(tf 有限) ;求解这个最优控制问题，可以用极小值原理，也可以用动态规划法。这里用极小值原理来求解。;4）将 代入状态方程得;（91）式可改??成;状态反馈的闭环方程为;例 6 系统状态方程为;其中;三、 无限时间状态调节器(tf ? ?);根据分析，显然当 时，J 取极小值。; 可见，无限时间状态调节器与有限时间最优调节器类似，均可以用状态负反馈构成状态闭环控制。但是反馈增益矩阵是时变的，给工程实践带来不便。;（114）式代入（111）式，得;例 7 线性定常系统的状态方程为;当 时， ；当 时， 。;四、 定常情况下状态调节器的稳定性;将（116）式代入（119）式，并且考虑（115）式，