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第五节条件分布-条件期望
第五节 条件分布与条件期望; 设(X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律为 P{X=xi,Y=yj}=pij , i, j=1,2,…. (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为 P{X=xi}=pi· i=1,2,…. P{Y=yj}=p·j j=1,2,….
设pi·0,p·j0，考虑在事件{Y=yj}已发生的条件下事件{X=xi}发生的概率,即 {X=xi|Y=yj}, i=1,2,…. 的概率,由条件概率公式, ; 显然，上述条件概率具有分布律的特性
(1).P{X=xi|Y=yj}≥0； ; 同理，对于固定的i，若P{X=xi}0，则称 ;同理： ;解：X与Y的边缘分布如表： ;设(X,Y)是二维连续型随机变量,这时由于对任意x,y有P{X=x}=0 , P{Y=y}=0 ,因此不能直接用条件概率公式引入条件分布函数P{X≤x|Y＝y}.下面我们用极限的方法来处理.
给定y,设对于任意固定的正数ε,P{y-ε＜Y≤y+ε}0 ,于是对于任意x有;1.条件分布函数的定义：给定y,设对于任意实数x,若极限 ;;3.条???概率密度
定义;例: 设(X,Y)服从二维正态分布 N(μ1,μ2,σ12,σ22,?),求在X=x的条件下,Y的条件密度函数pY|X(y|x).
解: (X,Y)的密度函数为;这正是正态分布 ;解: 按题意X具有概率密度 ;三、连续场合的全概率公式和贝叶斯公式;例;即 Y仍服从正态分布 .;二、条件数学期望;若记;2.重期望公式;条件期望的应用;当 时,;证明：
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