第十一讲二重积分及其计算.ppt

第一节 二重积分 一. 二重积分的定义 二. 二重积分的性质 四. 二重积分的计算 三. 二重积分的几何意义 对 D 进行分割： 小曲顶柱体 曲顶柱体的体积 引例1 (底面积) (高) 小曲顶柱体的体积 . . 小平顶柱体体积为： 近似代替 曲顶柱体的体积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 非均匀分布时平面薄板质量问题 引例2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 非均匀分布时平面薄板质量问题 比较分割后小曲顶柱体体积与平面薄板质量 小曲顶柱体 平面薄板小块 (底) (高) (密度) (面积) (面积) (小块) 一. 二重积分的定义 两个无关 二重积分定义的几点说明： 二.二重积分的性质 解 例1 解 例2 三. 二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积 . 曲顶柱体的体积 . 曲顶柱体的体积 综合上述两种“曲顶柱体”体积计算方法, 得到 就是说, 二重积分可以通过两次定积分来计算. 四.二重积分的计算 1. 直角坐标系下的二重积分计算 2.二重积分的换元法 3.极坐标系下二重积分的计算 1.直角坐标系下的二重积分计算 (1). x－型区域上的二重积分计算 (2). y－型区域上的二重积分计算 (3). 二重积分的换序问题 （1） x -型区域上的二重积分计算 解 (另一点舍去) 例3 解 例4 练习 (2). y -型区域上的二重积分计算 解 例5 (3).二重积分的换序问题 解 例6 解 例7 例8 例9 解 练 解 2.二重积分的换元法 注意： 例10 解 练习 解 3.极坐标系下二重积分的计算 (1)极点位于积分区域外 (2)极点位于积分区域边界上 (3)极点位于积分区域内部 例12 解 例13 例14 解 练习 解 练习 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积 解 由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍 在极坐标系中D可表示为 练习 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积 解 由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍 在极坐标系中D可表示为