第四章 方程求根的数值解法.pdf

第四章 方程求根的数值解法 第一节 引言 第二节 二分法 第三节 迭代法及其收敛性 第四节 Newton迭代法 第五节 弦截法 2013-11-21 SCHOOL OF MATHEMATICS 1 第一节 引言 在解决实际问题时，常常遇到方程 f(x)=0 的求解 问题，方程 f(x)=0 的解也称为方程的根，或函数 f(x) 的零点. m * * * 若 f ()xxx=?()g (),x 且 gx()0,≠ 则称 x 为 f(x)= 0 的 m 重根，或函数 f(x) 的m重零点. gx()充分光滑时， fx()**= f′ () x== f (1m? )* ()0, x = fx()m ()0. * ≠ 2013-11-21 SCHOOL OF MATHEMATICS 2 n 次代数方程： n?1 n aax01++ + axnn?1 +an x =00(a ≠) 一次、二次代数方程具有简单的求根公式. 1545年，意大利学者卡当（Cardano，1501—1576） 给出了三次代数方程的求根公式； 1989年，我国学者范盛金给出了三次代数方程新的 求根公式（盛金公式）与判别法（更为简洁直观）. 1545年，卡当的学生费拉里（Ferrari，1522~1565） 给出了四次代数方程的求根公式； 2013-11-21 SCHOOL OF MATHEMATICS 3 1824年，挪威数学家阿贝尔（Abel，1802—1829）证 明了n (≥5) 次方程没有公式解；法国数学家伽罗瓦 （Galois，1811-1832）用他创造的“群论”方法给出了n (≥5) 次方程有根式解的充要条件. 1846年，法国数学家 刘维尔领悟到这些演算中迸发出的天才思想，花了几 个月的时间试图解释它的意义，并将这些论文编辑发 表在《纯粹与应用数学杂志》上。 根据阿贝尔和伽罗瓦的研究，人们认识到高于四次 的代数方程不存在求根公式. 高次代数方程及超越方程统称为非线性方程. （精确解通常很难求） 2013-11-21 SCHOOL OF MATHEMATICS 4 本章主要解决高次代数方程或超越方程（非线性方 程）根的近似值的数值方法. 求根问题包括： (1) 根的存在性； 零点定理：若 f ()xCab∈ [,],且 fafb() () 0, 则 fx()= 0在(,)ab 内至少有一个实根. (2) 根的分布；（根据零点定理有哪些信誉好的足球投注网站有根区间） (3) 近似根的求法. （本章重点研究的问题） 2013-11-21 SCHOOL OF MATHEMATICS 5 第二节 求实根的二分法 （Bisection Method） 常用于：查找线路电线、水管、气管等管道线路故障, 实验设计、资料查询. 2013-11-21 SCHOOL OF MATHEMATICS 6 游戏规则： 给出一件商品，请你猜出它的准 确价格，我们给的提示只有“高了” 和“低了”。给出的商品价格在100 ~ 200之间的整数，如果你能在规 定的次数之内猜中价格，这件商品 就是你的了。 2013-11-21 SCHOOL OF MATHEMATICS 7 问题1：有12个大小相同的小球，其中有11个 小球质量相等，另有一个小球稍重，用天平秤几 次就可以找出这个稍重的球？ 问题2：在一个风雨交加的