中科院_《随机过程》_2014年重点题目.pdf

例 2：网球比赛 网球比赛在选手 A 和 B 之间进行。网球的计分制是 15，30，40 和 60 分，如果选手 A 赢了 第一球，比分是 15:0，否则比分是 0:15。如果选手 A 接着赢了第二球，比分为 30:0，如果 A 接着赢了第三球，比分为 40:0，如果 A 再接着赢了第四球，则比分为 60:0，选手 A 赢得 该局比赛。当选手 A 赢了第一球而输了第二球，对手 B 得 15 分，从而比分为 15:15。平分 是指第六球后双方分数相同(例如 30:30，40:40，…)。在平分后，接下来的一球如果选手 A 得分/失分，则称此时的状态为 A 占先/B 占先。如果 A 在占先后再得分，则选手 A 赢得该 局。如果选手 B 在占先后再得分，则选手 B 赢得该局。 一旦第一局比赛结束，选手进入第二局比赛，直到一方赢得至少 6 局且至少领先对手两局， 这样该方获得一盘比赛的胜利。因而，一盘结束时的比分为下列情形之一：6:0，6:1，6:2， 6:3，6:4，7:5，8:6，…或是它们的逆序等等(实际规则中采用了决胜局的办法避免一盘比赛 的时间过长，此处不详细讨论)。一盘结束后，进行另一盘，直到一方赢得三盘中的两盘（或 五盘中的三盘），从而赢得整场比赛。 试对网球比赛中一局比赛的规则进行分析讨论。 题意分析： 整个题目都是在分析网球比赛规则，而分析规则的目的在于得出不同实力的选手在这种规则 下赢球的概率。换句话说，假如有两个选手，选手 A 赢一球的概率为 p，选手 B 赢一球的 概率为 q=1-p，那么若 pq，但是两者接近，例如 p=0.52，q=0.48，网球比赛的赛制能否保 证选手 A 在经过长时间的较量后最终有很大的概率战胜对手？相反，若两者实力悬殊，例 如 p=0.8，q=0.2，赛制能否保证选手 A 很快就能将 B 淘汰出局。这些都是我们分析比赛规 则时要关注的问题，并应该最后得出一个结论。 分出胜负的最小的单位是分，再上是局，局之上是盘（一方赢得至少 6 局且至少领先对手 2 局，这样取得一盘比赛的胜利），然后再上是一场比赛（可能是五盘三胜，也可能是三盘二 胜）。我们这里暂时只分析一局比赛的规则。 建模：具有两个吸收壁，五个状态的随机游动 1．一局比赛的建模 问题：一局比赛共有多少个状态 很多，例如 15:0 就是一个状态，40:15 又是一个状态。还是回到我们分析比赛规则的目 的上来，我们是为了得到两名选手最终赢球与输球的概率，那么当一局比赛打到 30:40 的时 候，如果选手 B 再取胜一球，则 30:60，选 手 B 获胜，而之前这局比赛到底是怎么打到 30:40 的并不是我们关心的问题，我们只关心一局比赛会打到 30:40 的概率（初始概率）以及之后 由状态 30:40 打到状态 30:60 的概率（转移概率）。这是典型的马尔科夫链。 那么我们实际要做的事情就是如何确定比赛中对我们的分析有用的状态以及这些状态 的概率，状态之间相互转移的概率。 首先我们对一局比赛中的所有状态分类，可以分为 6 大类： (1) “过渡”的状态，例如 15:0 这样的状态。 (2) A 赢的状态，例如 60:15, 60:30, 60+2:60, 60+4:60+2，… 这种状态是吸收态 (3) B 赢的状态，例如 15:60, 30:60, 40:60+1, 60+1:60+3, … 这种状态是吸收态