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PAGE  PAGE 39 第二章 静电场 本章主要介绍静电场的部分求解方法。由于静电场的基本方程是矢量方程，直接求解较困难，因此一般都采用引入电势进行求解。本章首先引进静电场的标量势函数——电势并讨论电势的一些基本特性。然后讨论静电势方程的几种求解方法——分离变量法、镜象法、格林函数法以及电荷在小区域分布时的近似求解方法。 §1 静电势及其微分方程 静电场的标势 1．静电势的引入 因为静电场为无旋场，即，所以可以引入标量函数，引入标量函数后 ——静电场标势（简称电势）。 ① 的选择不唯一，相差一个常数，只要知道即可确定 ② 取负号是为了与电磁学讨论一致 ③ 满足迭加原理 电势差：空间某点电势无物理意义，只有两点间的电势差才有意义 ∵ 选空间有限两点 Q C2 C1 ∴ 为电场力将单位正电荷从P移到Q点所做功负值 ① 电场??作正功，电势下降 电场力作负功，电势上升 ② 两点电势差与做功的路径无关 等势面：该面上电势处处相等（与等势面垂直，即处处成立） 参考点：（1）电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电势参考点 P点电势为将单位正电荷从P移到∞电场力所做的功。 （2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作为零电势参考点，否则积分将无穷大。 电荷分布在有限区域时的几种情况的电势 点电荷 电荷组 无限大均匀线性介质中点电荷 （Q为自由电荷） Q产生的电势 ， 产生的电势 P O 连续电荷分布所产生的电势 ， 选取无穷远处为零电势参考点。 在实际问题中，电荷分布与电场是一对矛盾体，相互制约一般无法预先知道。有导体时静电场产生的物理过程：给定作用于导体→ 自由电子移动 →变化为 → 平衡后为。 若导体不带电，在静电场中也会出现感应电荷，但导体上总电量仍然为零。 二、静电势的微分方程和边值关系 1．满足的方程 泊松方程： 其中仅为自由电荷分布，适用于均匀各向同性线性介质。 导出过程： 拉普拉斯方程： （适用于的区域 ）。 2．边值关系 （S为分界面） （ 由1→2） (1) 两种介质交界面处边值关系 证明：（a） P→Q 积分为零，所以 即。 （b） （为自由面电荷分布） 由 ∵ ∴ （2）静电平衡条件下导体的性质 （3）导体表面上的边值关系 由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上，并考虑导体内部电场为零，则可以得到第二个边值关系： 三、静电场的能量 1．能量密度：均匀各向同性线性介质） 总能量： 2. 若已知 总能量为 ，但不代表能量密度。 导出过程： ∵， ∴ 该公式只适合于静电场情况，能量不仅分布在电荷区，而且存在于整个场空间中。 例题 (教材P55~56) §2 唯一性定理 V S 一、泊松方程和边界条件 假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质是各向同性线性均匀介质。 设V内所求电势为，它们满足泊松方程 泊松方程或拉普拉斯方程（区域）的解有多种形式，要确定且唯一确定V内电场，必须给出边界条件。数学上称为定解问题： 一般边界条件有两类：① 边界S上，为已知，若为导体= 常数为已知。② 边界S上，为已知，若是导体要给定总电荷Q。它相当于给定（）。 内边界条件由 边值关系给出： 法线方向， 在实际问题中，因为导体内场强为零，可以不包含在所求区域V内。导体上下边界条件为外边界条件。对于V内两介质分界面上。 二、唯一性定理 1．均匀单一介质 当区域内分布已知，满足，若V边界上已知，或V边界上已知，则V内场（静电场）唯一确定。 证明：假定泊松方程有两个解，则有， 并且在边界上，，即 或者 ， 令 则 , 由格林第一公式 令 则 ∵ 在S上积分 又 , 由于被积函数（正定） 所以积分为零必然要求，常数 （1）若给定的是第一类边值关系 ，常数为零，，电场唯一确定且电势也是唯一确定的。 （2）若给定的是第二类边值关系 ，常数，相差一个常数，电场是唯一的。 1. 介质分区均匀（不包含导体） Q1 Q2 V内已知， 成立，给定区域边界：或，在分界面上：,，则V内场唯一确定（证明见教材P60~61） 均匀单一介质中有导体（证明见书P．60） 导体中，要求的是内的场。 Q S S 当和，已知或，（，）为已知，则内场唯一。 确定， 或。 3．导体外有多种均匀介质 当，（=常数）已知 或当和导体上Q已知，V内场唯一确定。 在介质分界面上，或，对于每一个导体 上。 三、唯一性定理的意义 （1）唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求解给定区域中的电场分布指明了方向并提供了保证条件； （2）具有十分重要的实用价值。 无论采用什么方法得