数学竞赛与自主招生讲座——复数.docVIP

PAGE  PAGE 25 复 数 I．复数的四种表示形式 代数形式：. 几何形式：复平面上的点或由原点出发的向量. 三角形式：. 指数形式：. 复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实. II．复数的几何意义 （1）复数模的几何意义：，即点到原点的距离，一般地即点到点的距离． （2）复数加、减法的几何意义： 图中给出的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义． 即，． （3）复数乘、除法的几何意义： 设，则的几何意义是把的对应向量按逆时针方向旋转一个角（如果，就要把按顺时针方向旋转一个角，再把它的模变为原来的倍，所得向量即表示积，如图，，的几何意义是把的对应向量按顺时针方向旋转一个角（如果，就要把按逆时针方向旋转一个角，再把它的模变为原来的倍，所得的向量即表示商． III．复数的运算法则 加、减法： 乘法： 除法： 乘方：N）； 开方：复数次方根是 Ⅳ．复数的模与共轭复数 复数的模的性质 ① ② ③ ④、对应的向量、反向时取等号； ⑤，与复数对应的向量 同时取等号. 共轭复数的性质 ①； ②； ③ ④； ⑤； ⑥ ⑦z是实数的充要条件是是纯虚的充要条件是 Ⅴ．复数解题的常用方法与思想 （1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主 值相等（辐角相差2的整数倍）. 利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径. （2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面. 复数的模可以帮助我们表示出一些常用曲线方程． 如圆：； 线段中垂线：； 椭圆：； 双曲线：． (1985,联赛) 设为复数，，关于的方程有下面四个结论： Ⅰ．是这个方程的解； Ⅱ．这个方程只有一解； Ⅲ．这个方程有两解； Ⅳ．这个方程有无穷多解． 则( ) A．只有Ⅰ、Ⅱ正确 B．只有Ⅰ、Ⅲ正确 C．只有Ⅰ、Ⅳ正确 D．以上A、B、C都不正确 解：原式两端取共轭：，乘以再取共轭：，相加，由，得方程有唯一解．选A． （1986，联赛）设x为复数，，那么( ) A．M={纯虚数} B．M={实数} C．{实数} eq \o(\s\up3(ì),\s\do3(1)) M  eq \o(\s\up3(ì),\s\do3(1)){复数} D．M={复数} 解：选B. 即,，，即为实数． (1987, 联赛) 如图，和△是两个不全等的等腰直角三角形，现固定，而将绕点在平面上旋转，试证：不论旋转到什么位置，线段上必存在点，使为等腰直角三角形． 证明：以为原点，为轴正方向建立复平面．设表示复数，点表示复数．则点表示复数，点表示复数. 把绕点旋转角得到， 则点表示复数．点表示复数. 表示中点的复数. ∴ 表示向量的复数： 表示向量的复数： 显然：．于是，且即△为等腰直角三角形．故证． (1988，联赛) 复平面上动点的轨迹方程为，为定点，，另一个动点满足，求点的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置． 解：，故得，即．．即以为圆心 为半径的圆． (1990 , 联赛) 设非零复数满足，则代数式的值是( ) A． B．－1 C．1 D．以上答案都不对 解：，其中．．且． 若，则得．若，则得． 选B． (1991 , 联赛) 设均为非零复数，且，则的值为( ) A．1 B． C． D． 解：令，则．由得．且．故．选C． （1991，全国联赛）设复数，满足，，则 ． 解法1： 4000。 由，得。由，故 。 。 。 解法2：由提设知 因为，故，，且。 设，则，从而 ，故。 于是或，这里。 当时，，从而 。 当时，可得同样结果。 解法3：考虑复数的几何意义。设复数，在复平面上对应的点分别是，设为的中点。由条件 ，，。 因此容易知道为等边三角形，不妨设，代入得 。 (1992,联赛)设复数在复平面上对应的点分别为，且，，为坐标原点，则的面积为( ) (A) (B) (C) (D) 解：选A． ．∴，的夹角为。． (1992,联赛) 设都是复数，且，则的值是______． 解： ．即， ∴． ∴． (1993 , 联赛) 设为非零实数，为虚数单位，，则方程与在同一复平面