曲线的参数方程（巢晖）.docVIP

PAGE  PAGE 5 曲线的参数方程 教材 上海教育出版社高中三年级（理科）第十七章第一节 授课教师 上海市建平中学 巢晖 教学目标 1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一）曲线的参数方程概念的引入 引例： 2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。 已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在点（其中点和转轴的???线与水平面平行）。问：经过秒，该游客的位置在何处? 引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 （1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程 1、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙的圆心为原点，半径为，所在直线为轴，如图，以为始边绕着点按逆时针方向绕原点以匀角速度作圆周运动，则质点的坐标与时刻的关系该如何建立呢？（其中与为常数，为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知： 为参数 ① （2）点的角速度为，运动所用的时间为，则角位移，那么方程组①可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得： 为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力） （3）方程①、②是否是圆心在原点，半径为的圆方程？为什么？ 由上述推导过程可知：对于⊙上的每一个点都存在变数（或）的值，使，（或，）都成立。 对于变数（或）的每一个允许值，由方程组所确定的点都在圆上； （1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习；2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发，可以说明以上由变数（或）建立起来的方程是圆的方程；） （4）若要表示一个完整的圆，则与的最小的取值范围是什么呢？ ， （5）圆的参数方程及参数的定义 我们把方程①（或②）叫做⊙的参数方程，变数（或）叫做参数。 （6）圆的参数方程的理解与认识 （ⅰ）参数方程与是否表示同一曲线？为什么？ （ⅱ）根据下列要求，分别写出圆心在原点、半径为的圆的部分圆弧的参数方程： ①在轴左侧的半圆（不包括轴上的点）； ②在第四象限的圆弧。 （通过具体问题的解决，加深对圆的参数方程的理解与认识，体会到参数的取值范围也是圆的参数方程的重要组成部分；并为曲线的参数方程的定义及其理解与认识作铺垫。） （7）曲线的参数方程的定义 （ⅰ）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数 ③，并且对于的每一个允许值，由方程组③所确定的点都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程。变数叫做参变量或参变数，简称参数。 （ⅱ）相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标、间关系的方程叫做曲线的普通方程。 （8）曲线的参数方程的理解与认识 （ⅰ）参数方程的形式； （横、纵坐标、都是变量的函数，给出一个能唯一的求出对应的、 的值，因而得出唯一的对应点；但横、纵坐标、之间的关系并不一定是函数关系。） （ⅱ）参数的取值范围； （在表述曲线的参数方程时，必须指明参数的取值范围；取值范围的不同，所表示的曲线也可能会有所不同。） （ⅲ）参数方程与普通方程的统一性； （普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标变量与之间的直接联系，而参数方程是通过变数反映坐标变量与之间的间接联系；普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式；参数方程可以与普通方程进行互化。） （ⅳ）参数的作用； （参数作为间接地建立横、纵坐标、之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用。） （ⅴ）参数的意义。 （如果参数选择适当，参数在参数方程中可以有明确的几何意义，也可以有明确的物理意义，可以给问题的解决带来方便。即使是同一条曲线，也可以用不同的变数作为参数。） （三）巩固曲线的参数方程的概念 例题1： （1）质点开始位于坐标平面内的点处，沿某一方向作匀速直线运 动。水平分速度厘米/秒，铅锤分速度厘米/秒， （ⅰ）求此质点的坐标与时刻（