复平面的迭代.ppt

复平面函数的迭代算法及作图;Julia集：固定c;逃逸时间算法的基本思想 ;（1） 当初值︱z︱＜1 时，F(z)→0； （2） 当初值︱z︱＞1 时, F(z)→∞； 结论：实轴上有两个不动点，即0和∞，称为“平庸吸引子”。 （3） 当初值︱z︱= 1 时，F(z)在圆周∣Z∣=1上变化，呈现出不稳定的性态。;逃逸时间算法的基本思想 ;（1）.定义一个半径充分大的圆 确定以W为中心，R为半径的圆，R为正整数且足够大，使圆包含 W，再定义一个发散区域： V={(x,y)∈R2;(x2+y2)1/2R 当轨道进入V区域，轨道发散。 （ 2）. 确定最大迭代次数 （ 3）. 用不同的颜色绘制逃逸和不逃逸的点，也可以在逃逸的点中用确定该点是逃逸点的迭代数来确定绘制的颜色，这样可以观察到点逃逸的快慢。;Julia集的逃逸时间算法 ;Julia集的逃逸时间算法 ;;;Mandelbrot集的逃逸时间算法 ;Mandelbrot集的逃逸时间算法 ;Mandelbrot集;牛顿分形;Newton分形;牛顿迭代法作图 ;不用0作为初始迭代点，而用复平面上面的其它任意一点作为初始迭代点，再根据这些点的最终迭代结果给每个初始迭代点着色，我们就可以得到Julia集。;具体地说，Mandelbrot记录的是整个区域上的c值情况，而Julia集是取一固定的c 值后，观察复平面上每一点(x，y)在迭代中的表现，并把结果记录下来。;作图步凑： 1) 选择参数a or c、迭代次数L、收敛值M； 2) 选择象素点(x,y)； 3) 设置迭代计数i，初值为0； 4) 用公式Z=Za+C计算Z的新值； 5) 递增迭代次数i，即i=i+1； 6) 重复步骤5、6，一直到终结条件(i＜L或｜Z｜＜M)得到满足； 7) 在屏幕上显示此象素点(x,y)；;基于牛顿迭代的Julia集的逃逸时间算法 ;;;影响复迭代分形图的若干因素分析 ;1) 选择指数α、迭代次数L、收敛值M；2) 选择一象素点(x,y)；3) 根据所希望的分形形式选择C和Z(即生成C平面分形，还是Z平面分形)；4) 设置迭代计数i，初值为0；5) 用公式Z=Zα+C计算Z的新值； 6) 递增迭代次数i，即i=i+1；7) 重复步骤5、6，一直到终结条件(i＜L或｜Z｜＜M)得到满足；　　;8) 在屏幕上显示此象素点(x,y)；9) 重复步骤2～8，对所希望的所有象素点进行处理。　　 分析上述对应于复迭代变换Z=Zα+C的分形图生成过程，我们发现，参数C、指数α、迭代次数L、收敛值M的取值对最后生成的图形都是有影响的。 ;一.参数C的取值对Z平面分形的影响;(1)　C=0　　复迭代变换简化为Z=Z2，根据初始点Z0的不同，有以下三种情况：　　.｜Z0｜＜1则｛Zn｝很快趋向于零，得到的图形只是一个点，称此点为吸附点(attractor)。　　.｜Z0｜＞1，则｛Zn｝→∞，Z0经过变换后无限发散，得不到图形。　　.｜Z0｜=1，则｛Zn｝永远保持在单位圆｜Z｜=1上，此时得到的图形是圆心在原点、半径为1的圆。;（2）C≠0　　如图1所示，不同的参数C，对应着形态各异的分形图象。而对于确定的参数C，其对应分形图的局部放大图与整体图像极其相似，因而具有严格的自似性。 不同参数C对应的Z平面分形图及其放大图，如下： ;;指数α的取值对C平面分形的影响;;经过多次计算机图示实验，得出如下结论： （1）α取正整数时，得到的分形图呈波瓣状结构，其波瓣结构数目等于α-1。当α为奇数时，图形对复平面的实轴和虚轴都对称；当α为偶数时，图形仅对称于复平面的实轴。 ;（2）α取负整数时， 得到的分形图是围绕中心区域的均匀分支结构， 分支结构的数目等于 ｜α｜+1。当α为奇数时，图形的分支结构同时对称于复平面的实轴和虚轴；当α为偶数时，分支结构仅对称于复平面的实轴。 ;三. 迭代次数L的影响;;从图中可以看出：迭代次数较少时，图形边界存在较多的分支，迭代次数较多时，图形边界的分支明显减少。这说明迭代次数的变化对收敛与发散的临界区域——图形的边界是有影响的。另外，取迭代次数为20和50时，其对应图形的边界差别较大。而分别取迭代次数为200和400时，其对应图形的边界差异很小，几乎没有什么变化。 由此得出结论： ;迭代次数较少时，图形边界较“粗糙”，分支较多，且迭代次数的变化会引起对应的图形边界的较显著的变化； 迭代次数较多时，图形边界较“光滑”，分支较少，并且迭代次数发生变化时，并不引起对应图形边界的显著变化。 ;四.收敛值M的影响;分别取不同的收敛值M，经过多次计算机图示实验可知：当收敛值M的取值较小，如M=0.6、