千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第79炼 利用点的坐标解决圆锥曲线问题.doc

第九章 第79炼 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何 第79炼 利用点的坐标处理解析几何问题 有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识： 1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣： （1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受形式的约束 （2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点的坐标也变得复杂导致运算繁琐。那么此类问题则要考虑看能否有机会进行整体的代入 3、求点坐标的几种类型： （1）在联立方程消元后，如果发现交点的坐标并不复杂（不是求根公式的形式），则可考虑把点的坐标解出来（用核心变量进行表示） （2）直线与曲线相交，若其中一个交点的坐标已知，则另一交点必然可求（可用韦达定理或因式分解求解） 4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件紧密联系，若能够整体代入，也要考虑整体代入以简化运算。（整体代入是解析几何运算简化的精髓） 二、典型例题： 例1：已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点分别是椭圆的左右顶点 （1）求圆和椭圆的方程 （2）已知分别是椭圆和圆上的动点（位于轴的两侧），且直线与轴平行，直线分别与轴交于点，求证：为定值 解：（1）依题意可得，过焦点，且 ，再由可得 椭圆方程为，圆方程为 （2）思路：条件主要围绕着点展开，所以以为核心，设，由与轴平行，可得。若要证明为定值，可从的三角函数值下手，在解析中角的余弦值可以与向量的数量积找到联系，从而能够转化为坐标运算。所以考虑，模长并不利于计算，所以先算，考虑利用条件设出方程，进而坐标可用核心变量表示，再进行数量积的坐标运算可得，从而，即为定值 解：设 与轴平行， 设，由所在椭圆和圆方程可得： 由椭圆可知： 令，可得： 同理：可得 ，代入可得： ，即为定值 思路二：本题还可以以其中一条直线为入手点（例如），以斜率作为核心变量，直线与椭圆交于两点，已知点坐标利用韦达定理可解出点坐标（用表示），从而可进一步将涉及的点的坐标都用来进行表示，再计算也可以，计算步骤如下： 解：设，由椭圆方程可得： 所以设直线，联立方程： ，代入到直线方程可得： ，由，令可得： 设，则 由在圆上可得：，再由代入可得： ，即为定值 例2：设椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，已知 （1）求椭圆的离心率 （2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切，求直线的斜率 解：（1）由椭圆方程可知：， 即 （2）由（1）可得 椭圆方程为 设 以线段为直径的圆经过点 联立方程：，整理可得： ，解得：，代入直线方程： 可知的中点为， 圆方程为 设直线： ，整理可得： ，解得： 直线的斜率为或 例3：（2014，重庆）如图所示，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，的面积为 （1）求椭圆的标准方程 （2）设圆心在轴上的圆与椭圆在轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径 解：（1）设，由可得： ，解得 在中， 椭圆方程为： （2）如图：设圆与椭圆相交，是两个交点 ，是圆的切线，且，则由对称性可得： 由（1）可得 ， 联立方程，解得（舍）或 过且分别与垂直的直线的交点即为圆心 由是圆的切线，且，可得： 因为 为等腰直角三角形 例4：已知椭圆的焦距为，设右焦点为，离心率为 （1）若 ，求椭圆的方程 （2）设为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上 ① 证明：点在定圆上 ② 设直线的斜率为，若，求的取值范围 解：（1）依题意可得： 所以椭圆方程为： （2）①思路：设，则，由此可得坐标（用进行表示），而在以为直径的圆上可得：，所以得到关于的方程，由方程便可判定出点的轨迹 解：设，则。因为，且为的中点 所以有 在以为直径的圆上