概率论与数理统计2汇总.ppt

第二章随机变量; 关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容．这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量．也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样．变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念．同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量。使我们借助于微积分等数学工具把研究引向深入。; 为了全面地研究随机试验的结果，揭示客观存在着的统计规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。 ; 由于随机因素的作用，试验的结果有多种可能性。如果对于试验的每一可能结果，也就是一个样本点ω，都对应着一个实数ξ(ω)，而ξ(ω)又是随着试验结果不同而变化的一个变量，则称它为随机变量。随机变量一般用希腊字母ξ，η，ζ或大写拉丁字母X，Y，Z等表示。;;定义. 设Ω={ω}是随机试验的样本空间，如果量X是定义在Ω上的一个单值实值函数即对于每一个ω?Ω，有一实数X=X(ω)与之对应，则称X为随机变量。;?;例如 （1）一个射手对目标进行射击，击中目标记为1分，未中目标记0分。如果用ξ表示射手在一次射击中的得分，则它是一个随机变量，可以取0和1两个可能值。;; 显然随机变量是建立在随机事件基础上的一个概念。既然事件发生的可能性对应于一定的概率，那么随机变量也以一定的概率取各种可能值。按其取值情况可以把随机变量分为两类： ;随机变量;2.2 随机变量的分布;为直观起见，将可能取的值及相应概率列成 概率分布表： ;此外，ξ 的概率分布情况也可以用一系列等式表示： 其中 构成一个完备事件组。 此时，（2.1）式称为随机变量ξ 的概率函数（或概率分布律）。;(1) pk ? 0, k＝1, 2, … ; (2) ;;例2 产品由一、二、三等品及废品4种，其一、二、三等品律及废品律分别为60%、10%、20%、10%，任取一个产品检验其质量，用随机变量ξ描述检验结果并画出概率函数图。;概率分布表为：;例3 社会上定期发行某种奖券，每券1元，中奖率为p。某人每次购买1张奖券，如果没有中奖下次再继续购买1张，直至中奖为止。求该人购买次数ξ的分布。;则概率函数为：;例4 盒内装有外形与功率均相同的１５个灯泡，其中１０个螺口，５个卡口，灯口向下放着．现在需要１个螺口灯泡，从盒中任取一个 ，如果取到卡口灯泡就不在放回去。求在取到螺口灯泡之前已取出的卡扣灯泡数ξ 分布。;同样方法，可以依次计算出 P(ξ=k)（ｋ＝2,3,4,5)的概率，列成概率分布 如表　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　;几个常用的离散型分布：;2.离散型随机变量均匀分布;3.几何分布：;例5.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。;EX;(二) 随机变量的分布函数; 因此，若已知ξ的分布函数F(x),就能知道ξ在任何一个区间上取值的概率。从这个意义上说，分布函数完整的描述了随机变量的变化情况，它具有下面几个性质：;分布函数F(x)的性质;一般地，对离散型随机变量 X～P{ξ= xk}＝pk, k＝1, 2, … 其分布函数为 ;例7 求P35例３的分布函数F(x)解：;Ｆ(x)的图形如图所示：;分布函数与概率函数满足关系：;(三)连续型随机 变量的分布;例8 在区间[4,10]上任意抛掷一个质点,用ξ表示这个质点与圆点的距离,则ξ是一个随机变量.如果这个质点落在[4,10]上任一子区间内的概率与这个区间长度呈正比,求ξ的分布函数。;F(x)的图形如下; 在这里,分布函数F(x)是实数上的一个非降有界的连续函数,在整个数轴上没有一个跳跃点(可见,对于这样的随机变量,它取任何一个具体值的概率都是零).比例系数λ,反映了概率分布在区间[4,10]上任意一个子区间[c,d]上的密集程度,记作φ(x);用分布函数描述随机变量不如分布律直观， 对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？; 定义2.3(p40) 对于随机变量ξ，若存在非负函数φ(x)，(-?x+?)，使对任意实数x，都有;ξ密度函数φ(x)具有的性质;密度函数的几何意义为;;例10 已知连续性随机变量ξ有概率密度;计算 P(1.5ξ2.5);例2 向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间