1.2充分、完备统计量选读.ppt

1.2 充分统计量与完备统计量 充分统计量 定义:设 是来自总体X具有分布函数 当给定 时，若样本 的条件分布与参数 无关，则称 是 的 充分统计量。 一、充分统计量含义 样本中包含关于总体分布中未知参 数的信息，是因为样本的联合分布与参 数有关。对统计量T，如果已经知道它的 值以后，样本的条件分布就与参数无关。 即在统计量T中包含了参数的全部信息。 1. 用定义证明T是充分统计量 例1 设 总体 服从两点分布 ，即 是来自总体 的一个样本，证明样本均值 是参数 的充分统计量 证明：由于 当已知 时，样本 的条件概率 例2. 设 是来自泊松分布 的一个样本，证明 是 的充分统计量. 证明：由泊松分布性质知 给定T=t 即 例3 设 是来自正态总体 的样本，证明 是充分统计量. 证明：由条件知 在给定 后，对 任意 有 ，样本 的条件概 率密度为： 2. 因子分解定理 定理(费希尔—奈曼准则） 设 是来自总体X具有分布函数 则 为 的充分统计量的充要条件是： 样本的联合分布密度函数可以分解为 用因子分解定理证明充分统计量 例1 设 总体 服从两点分布 ，即 是来自总体 的一个样本，证明样本均值 是参数 的充分统计量 证明：由于 例2 设 是来自泊松分布 的一个样本，证明样本均值 是 的充分统计量 证明： 例3 设 是来自正态总体 的样本，证明 是 的充分统计量 证明：样本 的联合分布密度为： 例4 设 是来自正态总体 的一个样本，证明 是 的充分统计量 证明：样本 的联合分布密度为： 定理 设 是单值可逆函数，则 也是 的充分统计量 结论： 1 统计量用来推测参数的值; 2 充分统计量把可能丢失信息的统计量筛选; 3 最优统计量在充分统计量之中; 4 一个参数的充分统计量不唯一. 问题：在什么情况下，它是唯一的？ 二、完备统计量 定义 设总体 的分布函数族为