6函数的插值法探究.ppt

北京科技大学数理学院 卫宏儒 weihr@ustb.edu.cn;分段多项式插值;引言 我们已经知道插值有多种方法：Lagrange 插值、 Newton插值、Hermit 插值等多种方式。插值的目的就是数值逼近的一种手段，而数值逼近，为的是得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？现在，我们来讨论一下这个问题。 我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2，…，n) 上的n次插值多项式Ln (x) 的余项为; 设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知，当f(x)充分光滑时，余项随n增大而趋于0的，这说明可用增加节点的方法达到这个目的，那么实际是这样吗？; 1901年龙格(Runge) 给出一个例子: 定义在区间[-1，1]上，这是一个光滑函数，它的任意阶导数都存在，对它在[-1，1]上作等距节点插值时，插值多项式情况，见图:; 从图中，可见，在靠近-1或1时，余项会随n值增大而增大，如P12(0.96)=3×6!但f(0.96)=0.25 ; 从图中，还可看见，在0附近插值效果是好的，即余项较小，另一种现象是插值多项式随节点增多而振动更多。 这种插值多项式当节点增加时反而不能更好地接近被插之数的现象，称为龙格现象。 ; 这个任意阶可导的光滑函数之所以出现这种现象，跟它在复平面上有x=±1/5是奇点有关。 俄罗斯数学家伯恩斯坦在1916年还给出如下定理： 定理：函数f(x)=|x|在[-1，1]上取n+1个等距节点x0=-1, xn=1,构造n次插值多项式Ln (x)，当n增大时，除了-1，0，1，三点外，在[-1，1]中任何点处Ln(x)都不收敛于|x|。; 上述现象和定理，告诉我们用高次插值多项式是不妥当的，从数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带来舍入误差的增大，从而引起计算失真。因此，实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。 那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一种办法。; 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在[a,b]上节点 a= x0 x1x2…xn-1xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数?(x)满足条件 (1) ?(x)在区间[a , b]上连续; (2) ?(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,???,n-1)上是次数为m的多项式; 则称?(x)是f(x)在[a ,b]上的分段m次插值多项式。 m=1称为分段线性插值 m=2称为分段抛物线插值;分段线性插值的构造： 由定义， ?(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,???,n-1)上是一次插值多项式; 分段线性插值的余项： 定理：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x) ，且| f″(x)| ≤m2, 记： h = max |xi+1-xi|,就有估计： |f(x)- ?(x) |=|R(x)| ≤m2h2/8， x∈[a, b]。 注意到h随分段增多而减少，因此用分段法提高精度是很好的途径. 证明：由Lagrange 余项公式，当x∈[xi, xi+1]时 |f(x)- ?(x) |=|R(x)| = |f″(?)(x-xi)(x- xi+1 )|/2! ≤m2max |(x-xi)(x- xi+1 )|/ 2≤m2h2/8， 上式右端与小区间的位置无关，证毕。 ;分段线性插值曲线图：;例：设 -1 ≤x ≤1 (1)将[-1，1] 10 等份，用分段线性插值近似计算f(-0.96)。 (2)将[-1，1] n 等份，用分段线性插值近似计算,问如何选择步长h可使近似计算误差R10-4? 解：(1)插值节点为xi=-1+ i/5 (i=0,1,…,10),h=1/5 因为 -0.96∈[-1,-0.8],取此区间为线性插值区间，其上的插值函数为 所以f(-0.96)≈ ?(-0.96)=0.04253;(2)插值节点为xi=-1+ ih (i=0,1,…,n),h=(b-a)/2=2/n 由分段线性插值的余项估计： |f(x)- ?(x) |=|R(x)| ≤m2h2/8 ;