第二章单自由度系统振动5.6选读.docx

第二章 单自由度系统振动 单自由度系统不但包含振动理论的重要基础，而且工程上有许多问题都可以简化为单自由度系统并得到满意的结果。此外，应用坐标变换或振型叠加法，多自由度系统和连续系统的振动可以转化为单自由度系统进行分析。因此，单自由度系统分析理论还是进一步研究复杂振动的基础。 2.1振动微分方程 单自由度系统由质量、弹簧及阻尼组成，一般受外部激励作用。图2.1(a)即为一简单的单自由度弹簧-阻尼器-质量系统，单自由度系统振动微分方程是一个二阶常系数微分方程。下面就通过几个例题来说明振动微分方程的建立方法。 [例一] 简单弹簧质量系统 如图2.1(a)所示：一单自由度弹簧-阻尼器-质量系统。该系统受激励作用，质量、弹簧刚度和阻尼分别为m、k和c，弹簧无初始变形。 解：取质量块为研究对象，以表示水平振动位移，当质量块水平振动位移为时，速度为，其受力图如图2.1(b)所示。 根据牛顿第二定律，在水平方向有： (2.1) 整理得： (2.2) [例二] 基础运动引起的振动 图2.2(a)为基础运动引起系统振动的简化模型，如地震引起的机床、设备、工程结构物振动等。图中为基础的振动位移，此类问题可用两种坐标系建立方程，质量块的绝对振动位移或质量块相对基础的振动位移。 当采用绝对坐标时，设为质量块的绝对振动位移，弹簧两端相对位移为，阻尼器两端相对速度为，受力图如图2.2(b)所示。 图2.2(a)力学模型 图2.2(b)绝对坐标 图2.2(c)相对坐标 根据牛顿第二定律,在竖直方向有： (2.3) 整理得： (2.4) 当采用相对坐标时，设为质量块相对基础的振动位移，则质量块的绝对加速度为，受力图如图2.2(c)所示。 根据牛顿第二定律，在竖直方向有： (2.5) 整理得： (2.6) 方程(2.4)和(2.6)形式上有差别，但计算结果是一样的。 在此例中，我们没有考虑重力及弹簧在重力作用下的初始变形，这是因为我们是在平衡状态下研究振动增量，对于线性系统，初始变形量可以不考虑。 在前面两例中建立方程时我们也没有标明坐标原点及其静平衡位置，这是因为振动分析只研究振动产生的动位移、速度、加速度和动力等部分，分析的是系统的附加动位移和附加动力等，坐标原点或静平衡位置对动力分析没有影响。正因为如此，作结构全部受力分析时还要叠加上静力分析结果。 比较(2.2)、(2.4)和(2.6)可以看出，单自由度系统振动微分方程一般形式为： (2.7) 对于线性系统，系统参数m、c和k为常数，方程是二阶常微分方程。只是对不同的问题，其系数m、c、k和外力的表达形式不同，初始位移和初始速度不同。 二阶常系数微分方程的解有两个待定常数，由系统初始位移和初始速度确定。当系统没有激励时，，叫作自由振动，对应的振动微分方程是齐次微分方程；系统在激励作用下的振动（），叫作强迫振动，对应的振动微分方程是非齐次微分方程。阻尼的系统叫无阻尼系统。现实中并不存在无阻尼系统，但无阻尼系统的讨论有重要的理论意义，这一点将在后续介绍中有所体现。 微分方程建立后，单自由度振动问题已转化为寻找满足初始条件的微分方程解的问题。借助于计算机，我们已经可以很容易的得到它的响应。但为了全面了解振动特性，仅仅求出响应是远远不够的，必须学习其它分析方法和手段。 微分方程已将力学问题转化为数学问题，由高等数学知识知道，非齐次微分方程的解是齐次微分方程的解叠加上特解。由于特解的求解受形式的影响，高等数学中分为几种类型求特解。本章将按物理意义分类介绍。 无阻尼自由振动、有阻尼自由振动（齐次微分方程）和强迫振动（非齐次微分方程）、简谐激励和单位脉冲激励、一般激励强迫振动特解顺序讨论单自由度系统振动，考虑到振动试验分析需要，还介绍了傅氏积分变换和传递函数。 2.2 无阻尼自由振动 无阻尼自由振动系统是没有阻尼且不受外部激励的系统。令式(2.7)中和为零，得到无阻尼自由振动微分方程： (2.8) 按微分方程理论，设其解为： (2.9) 式中和均为待定常数。 将式(2.9)代入式(2.8)式有 为了得到非零解,只能： 有 令： (2.10) 式中为虚数符号。根据微分方程理论，式(2.8)的通解为