“刘 豹：现代控制理论”第4章-稳定性和李亚普诺夫方法.ppt

4.2 李雅普诺夫第一法;4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义;开始观察的时间变量。; 对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式(3)所 确定的常值解．例加系系统：; 若用 表示状态矢量 与平衡状态 的距离，用点集 表示 以 为中心 为半径的超球体，那么 ，则表示：;（7）;4.2 李雅普诺夫第一法;的极点全部位于s的左半平面。;式中， 为级数展开式中的高阶导数项。; 在一次近似的基础上，李雅普诺夫给出下述结论：; 设 为由 维矢量 所定义的标量函数， ，且在 处恒有 。;2．二次型标量函数;矩阵 P 的符号性质定义如下：;（9）;4.3.2 几个稳定性判据;2) 是正定的，即当 。;4.3.3 对李雅普诺夫函数的讨论; 6)由于构造 函数需要较多技巧，因此，李雅普诺夫第二法主要用于确定那些使用别的方法无效或难以判别其稳定性的问题。例如高阶的非线性系统或时变系统。 ;4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用; 则系统在平衡点 处大范围渐近稳定的充要条件为：对于任意给定的连续对称正定矩阵 ，必存在一个连续对称正定矩阵 ，满足：;即;特别地，当取 时，则得：;4.4.4 线性时变离散系统渐近稳定判据;4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用; 假设原点 是平衡状态， 对 可微， 系统的雅可比矩阵为：;（14）; 变量梯度法是以下列事实为基础的：即如果找到一个特定的李雅普诺夫函数 ，能够证明所给系统的平衡状态为渐近稳定的，那么，这个李雅普诺夫函数 的梯度：;或写成矩阵形式，得：