《离散数学》课后习题解答--第5章.doc

第5章 习题解答 PAGE  PAGE 10 习题 5.1 1.设A=ía,b,cy，B=í1,2,3y，试说明下列A到B二元关系，哪些能构成A到B的函数？ ⑴ f1=í?a,1?,? a,2?,?b,1?,?c,3?y ⑵ f2=í?a,1?,?b,1?,?c,1?y ⑶ f3=í?a,2?,?c,3?y ⑷ f4=í?a,3?,?b,2?,?c,3?,?b,3?y ⑸ f5=í?a,2?,?b,1?,?b,2?y 解：⑴不能构成函数。因为a,1?f1且a,2?f1 ⑵能构成函数 ⑶不能构成函数。因为domf3≠A ⑷不能构成函数。因为b,2?f4且b,3?f4 ⑸能构成函数。 2.试说明下列A上的二元关系，哪些能构成A到A的函数？ ⑴ A=N(N为自然数集合)，f1=í?a,b?| a?A∧b?A∧a＋b＜10y ⑵ A=R(R为实数集合)，f2=í?a,b?| a?A∧b?A∧b=a2y ⑶ A=R(R为实数集合)，f3=í?a,b?| a?A∧b?A∧b2=ay ⑷ A=N(N为自然数集合)，f4=í?a,b?| a?A∧b?A∧b为小于a的素数的个数y ⑸ A=Z(Z为整数集合)，f5=í?a,b?| a?A∧b?A∧b=|2a|＋1y 解：⑴不能构成函数。由于1+1＜10且1+2＜10，所以1,1?f1且1,2?f1。 ⑵能构成函数。 ⑶不能构成函数。由于12=1且(-1)2=1，所以1,1?f3且1,-1?f3。 ⑷能构成函数。 ⑸能构成函数。 3. 回答下列问题。 ⑴ 设A=ía,by，B=í1,2,3y。求BA，验证|BA|= |B||A|。 ⑵ 设A=ía,by，B=í1,2y。求BA×A，验证|BA×A|=|B||A|×|A|。 解：⑴f0=ía,1,b,1y f1=ía,1,b,2y f2=ía,1,b,3y f3=ía,2,b,1y f4=ía,2,b,2y f5=ía,2,b,3y f6=ía,3,b,1y f7=ía,3,b,2y f8=ía,3,b,3y BA=íf0, f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7,f8y |BA|=9=32= |B||A| ⑵ A×A=ía,a,a,b,b,a,b,by f0=ía,a,1,a,b,1,b,a,1,b,b,1y f1=ía,a,1,a,b,1,b,a,1,b,b,2y f2=ía,a,1,a,b,1,b,a,2,b,b,1y f3=ía,a,1,a,b,1,b,a,2,b,b,2y f4=ía,a,1,a,b,2,b,a,1,b,b,1y f5=ía,a,1,a,b,2,b,a,1,b,b,2y f6=ía,a,1,a,b,2,b,a,2,b,b,1y f7=ía,a,1,a,b,2,b,a,2,b,b,2y f8=ía,a,2,a,b,1,b,a,1,b,b,1y f9=ía,a,2,a,b,1,b,a,1,b,b,2y f10=ía,a,2,a,b,1,b,a,2,b,b,1y f11=ía,a,2,a,b,1,b,a,2,b,b,2y f12=ía,a,2,a,b,2,b,a,1,b,b,1y f13=ía,a,2,a,b,2,b,a,1,b,b,2y f14=ía,a,2,a,b,2,b,a,2,b,b,1y f15=ía,a,2,a,b,2,b,a,2,b,b,2y BA×A=íf0, f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7,f8,f9 f10, f11, f12, f13, f14, f15y |BA×A |=16=24=|B||A|×|A| 4.下列函数中，哪些是单射？哪些是满射？哪些是双射？为什么？ ⑴ f：N→N，f(x)= x2＋1 ⑵ f：Z→Z， f(x)=(x mod 3)(函数值为x除以3的余数) ⑶ f：N→N， ⑷ f：N→í0,1y， ⑸ f：Z＋→R，f(x)=3x ⑹ f：R→R，f(x)=x3 解：⑴是单射，不是满射，不是双射。 当x,y?A，x≠y，x2≠y2，x2＋1≠y2＋1，f(x)≠f(y)。所以f：N→N是单射。 因为?x?N，f(x)≠0?N。所以f：N→N不是满射。 因为不是满射，所以不是双射。 ⑵不是单射，不是满射，不是双射。 因为6≠9，而f(6)=(6 mod 3)=0=(9 mod 3)=f(9)。所以f：Z→Z不是单射。 因为?x?Z，f(x)≠3?Z。所以f：Z→Z不是满射。 因为不是单射且不是满射，所以不是双射。 ⑶不是单射，不是满射，不是双射。 因为1≠3，而f(1)=f(3)。所以f：N→N不是单射。 因为?x?Z，f(x)≠2?N。所以f：N→N不是满射。 因为不是单射和不是满射，所以不是双射。 ⑷不是单射，是满射，不是双射