中学数学研究性学习结题报告正方体截面形状研究.doc

陕西省商洛中学数学研究性学习结题报告 课题：正方体截面问题 班级：高一年级十九班 小组：数学兴趣小组 指导老师：阮涛 组长：李文涛 廉育杰 王龙 赵琦 范宇坤 刘永强 屈宁波 寇煜辉 大题小做： 问题1：什么叫几何板的截面？ 答：一个几何和一个平面相交所得到的平面图形 （包含它的内部），叫做几何体的截面。 问题2：截面的边是如何得到的？ 答：截面的边是平面和几何体各面的交线。 问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型， 它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一 个平面去截一个正方体那么会得到什么形状 的截面图呢？截面图最多有几条边？ 答：因为正方形只有六个面，所以它与平面 最多有六条交线，即所截到得截面图最都有 六条边。所以截图可能是三角形，四边形， 五边形，六边形。 探究1：截面图为三角形时，有几种情况？ 1.是否可以截出等腰三角形： （1）解析: a b c A B C A’ 如上图，一正方体被一平面所截后得到截面abc 若截面三角形abc是 以为bc底的等腰三角形， 那么只要三角形Aba全等于 三角形Aca就可以截到。 所以，截到等腰三角形的情况存在。 （2）做法： 在一棱AA’上取a 在棱AB.AC上取Ab.等于Ac. 就可得到以bc为底的等腰三角abc。 （3）证明:因为角bAa等于角cAa， Aa边公用， Ab等于Ac， 所以三角形全等于三角形。 所以ba等于ca, 所以三角形abc是以为bc底的等腰三角形。 2.是否可以截出等边三角形: （1）解析 a b c A B C A’ 一正方体被一平面截后得到三角形abc， 若三角形abc是等边三角形， 只要三角形aAb,aAc, bAc两两全等就可以得到。 所以，截到等边三角形的情况存在。 （2）做法： 在棱AA’,AB.AC上分别取Aa等于Ab等于Ac 就可以得到三角形abc为等边三角形。 （3）证明: 因为Aa等于Ab等于Ac， 角bAa等于角cAa, 所以，三角形bAa全等于三角形cAa。 所以ab等于ac。 同理可证ba等于bc,ca等于cb。 所以三角形是等边三角形。 3.是否可以截出直角三角形： a b c A B C A’ 解析：若一正方体被一平面截后角acb是直角， 那么就有：ac2+cb2=ab2. 因为角adb是直角，所以ab2=db2+ad2; 因为角adc是直角，所以ac2=ad2+cd2; 因为角bdc是直角，所以bc2=db2+cd2. 所以ad2+cd2+db2+cd2=db2+ad2. 化简后得2cd2=0. 所以，这截得是普通三角形，不是直角三角形。 小结：用以平面去截正方体只能截到三边形： （1）等腰三角形， (2)等边三角形， (3)普通三角形； (4)不能截出直角三角形。 探究2：如果，截面为四边形，那么，可以截出哪几类呢? 1.是否可以截出长方形： 分析：过一正方体的一棱有无数个矩形， 只要长宽不等，就是长方形。所以，存在这一情况。 a c b d 做法： 如上图；取正方体一棱， 过棱沿一个不与原表面重合的平面截下， 就可以得到一个矩形。 证明: 设原棱长为a， 因为过棱沿一不与原表面重合的平面截下， 所以bd大于ab， 因为过一正方体的一棱有无数个矩形， 而截面不是正方形， 所以截面是矩形。 2.是否可以截出正方形: 分析：正方体六个表面都 是正方形只要用一垂直于 原表面的平面去截正方体， 就可以得到正方形。 做法： 用一垂直于原表面的平面去截 正方体，就可以得到正方形。 证明:因为垂直于原表面 的在正方体的截图都是 正方形，所以截到得垂直 于原表面的平面 就是正方形。 3.是否可以截出梯形： 分析:用一平面从一上正方体表面斜截下去 交与底面，因为上下两底面平行，斜截下去截 距不等，所以可截到梯形。 A C B D E F 做法： 用一平面从一上正方体表面 斜截下去交与底面就可截到 梯形。 证明： 平面ABC平行于DEF, 所以AC平行于DE; 斜截下去截距不等， 所以AC不等于DE; 所以DECA是梯形。 小结：用以平面去截正方体只能截到四边形： （1.）长方形； （2.）正方形； （3.）梯形。 探究3：截面多边形的边数 最多有几条？ 解析： 因为正方形只有六个面，所以它与平面最多有六条交线， 即所截到得截面图最都有六条边。所以截图可能是三角 形，四边形，五边形,六边形。 探究4:截面可能是正多边形吗？可能有几种？ 答：截面是正多边形有可能。 可能有正三角形，正方形，正五边形， 和正六边形。(如下图) 探究5:如果截面可能是三角形，其面积最大是什么? 如下图： 解析： 截面为三角形，面积是底乘高。 底和高最大是连接正方体的三个顶点， 所以这时三角形面积最大。 总结； A.用以平面去截正方体只能截到三边形： （1）