2017年高考数学(人教版文)一轮复习课时作业15第二章函数、导数及其应用12.docVIP

课时作业(十五)　导数与函数的极值、最值 一、选择题 1．设函数f(x)＝xex，则(　　) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 解析：求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点。 答案：D 2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1既有极大值又有极小值，则a的取值范围为(　　) A．a＜－1或a＞2　　　B．－3＜a＜6 C．－1＜a＜2 D．a＜－3或a＞6 解析：由已知得：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6＝0在R上有两个不相等的实根，所以Δ＝(2a)2－12(a＋6)＞0，解得：a＜－3或a＞6，故选D。 答案：D 3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是(　　) A．－2　　　B．0 C．2　　　D．4 解析：f′(x)＝3x2－6x， 令f′(x)＝0，得x＝0或2。 ∴f(x)在[－1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函数。 ∴f(x)max＝f(0)＝2。 答案：C 4．(2016·厦门质检)若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－eq \r(5)，1) B．[－eq \r(5)，1) C．[－2,1) D．(－2,1) 解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，且x＝－1为函数f(x)的极大值点，x＝1为函数f(x)的极小值点。函数f(x)在区间(a,6－a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6－a2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a满足a＜1＜6－a2且f(a)＝a3－3a≥f(1)＝－2，解得－eq \r(5)＜a＜1，且a≥－2。故实数a的取值范围是[－2,1)。 答案：C 5．(2016·信阳模拟)已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f(x)在[－1,0]上的最小值为(　　) A．－eq \f(3,2) B.eq \f(3,2) C．－2 D．2 解析：因为a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x，所以导函数f′(x)＝3ax2＋b＋2xln2。 因为a，b为正实数，所以当0≤x≤1时，3ax2≥0,2xln2＞0， 所以f′(x)＞0，即f(x)在[0,1]上是增函数，所以f(1)最大且为a＋b＋2＝4?a＋b＝2　①； 又当－1≤x≤0时，3ax2≥0,2xln2＞0，所以f′(x)＞0，即f(x)在[－1,0]上是增函数，所以f(－1)最小且为－(a＋b)＋eq \f(1,2)　②，将①代入②得f(－1)＝－2＋eq \f(1,2)＝－eq \f(3,2)，故选A。 答案：A 6．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是(　　) A．－13 B．－15 C．10 D．15 解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax， 由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0， 即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3。 由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4， f′(x)＝－3x2＋6x， 易知f(x)在[－1,0)上单调递减， 在(0,1]上单调递增， ∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4。 又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下， 且对称轴为x＝1， ∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9。 故f(m)＋f′(n)的最小值为－13。故选A项。 答案：A 二、填空题 7．函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则m＝________。 解析：f′(1)＝0可得m＝1或m＝3。 当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)， 1＜x＜3，f′(x)＜0；x＜1或x＞3，f′(x)＞0，此时x＝1处取得极大值，不合题意，所以m＝1。 答案：1 8．(2016·信阳调研)已知a≤eq \f(1－x,x)＋lnx对任意的x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))恒成立，则a的最大值为________。 解析：令f(x)＝eq \f(1－x,x)＋lnx，f′(x)＝eq \f(x－1,x2)，当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))时，f′(x)＜0，当x∈(1,2]时，f′(x)＞0， ∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，故a的最大值为0