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2017年高考数学(人教版文)一轮复习课时作业43第七章立体几何3
课时作业(四十三) 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题
1.给出下列说法:①梯形的四个顶点共面;②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,可以确定3个平面。其中正确的序号是( )
A.① B.①④
C.②③ D.③④
解析:因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以①是正确的;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,所以②不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,所以③不正确;三条直线两两相交,可以确定的平面个数是1或3,所以④不正确,故选A。
答案:A
2.(2016·温州模拟)如图所示的是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的是( )
A B C D
解析:A中PS∥QR,故共面;B中PS与QR相交,故共面;C中四边形PQRS是平行四边形,所以共面,故选D。
答案:D
3.(2016·合肥模拟)已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是( )
A.AB∥CD
B.AB与CD异面
C.AB与CD相交
D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
解析:若三条线段共面,如果AB,BC,CD构成等腰三角形,则直线AB与CD相交,否则直线AB与CD平行;若不共面,则直线AB与CD是异面直线,故选D。
答案:D
4.如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且C?l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )
A.点A B.点B
C.点C但不过点M D.点C和点M
解析:∵AB?γ,M∈AB,∴M∈γ。
又α∩β=l,M∈l,∴M∈β。
根据公理3可知,M在γ与β的交线上。
同理可知,点C也在γ与β的交线上。
答案:D
5.已知α、β为平面,A、B、M、N为点,a为直线,下列推理错误的是( )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN
C.A∈α,A∈β?α∩β=A
D.A、B、M∈α,A、B、M∈β,且A、B、M不共线?α、β重合
解析:∵A∈α,A∈β,∴A∈α∩β。
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A。故α∩β=A的写法错误。
答案:C
6.如图,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1(底面为正方形,侧棱与底面垂直)中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
解析:连接BC1,A1C1,则A1B与BC1所成角即为所求。
在△A1BC1中,
设AB=a,
则A1B=BC1=eq \r(5)a,A1C1=eq \r(2)a,
∴cos∠A1BC1
=eq \f(A1B2+C1B2-A1C\o\al(2,1),2A1B·C1B)=eq \f(4,5)。
答案:D
二、填空题
7.(2016·天津模拟)设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:
①设a⊥b,b⊥c,则a∥c;
②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;
③若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;
④若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面。
其中真命题的个数是________。
解析:因为a⊥b,b⊥c,所以a与c可能相交、平行或异面,所以①错;因为a,b异面,b,c异面,则a,c可能异面、相交或平行,所以②错;由a,b相交,b,c相交,则a,c可以异面、相交或平行,所以③错;同理④错,所以真命题的个数为0。
答案:0
8.(2016·昆明模拟)若两条异面直线所成的角为60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有________对。
解析:
正方体如图,若要出现所成角为60°的异面直线,则直线需为面对角线,以AC为例,与之构成黄金异面直线对的直线有4条,分别是A′B,BC′,A′D,C′D,正方体的面对角线有12条,所以所求的黄金异面直线对共有eq \f(12×4,2)=24对(每一对被计算两次,所以记好要除以2)。
答案:24
9.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________。
解析:取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,
则因为C是圆柱下底面弧AB的中点,
所以AD∥BC,
所以直线AC1与AD所在角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,
所以C1D⊥圆柱
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