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2017年高考数学(人教版文)一轮复习课时作业52第八章解析几何7
课时作业(五十二) 抛物线
一、选择题
1.(2016·石家庄模拟)若抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( )
A.y2=4x B.y2=6x
C.y2=8x D.y2=10x
解析:由题意可知p0,因为抛物线y2=2px,所以其准线方程为x=-eq \f(p,2),因为点P(2,y0)到其准线的距离为4,所以|-eq \f(p,2)-2|=4,所以p=4,故抛物线方程为y2=8x。故选C。
答案:C
2.设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5。所以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
解析:由已知得抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),0)),设点A(0,2),抛物线上点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2p),y0)),则eq \o(AF,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),-2)),eq \o(AM,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2p),y0-2))。由已知得,eq \o(AF,\s\up6(→))·eq \o(AM,\s\up6(→))=0,即yeq \o\al(2,0)-8y0+16=0,因而y0=4,Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p),4))。
由|MF|=5得,eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)-\f(p,2)))2+16)=5,又p0,解得p=2或p=8,故选C。
答案:C
3.(2016·郑州模拟)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点,若△PQF是边长为2的正三角形,则p的值是( )
A.2±eq \r(3) B.2+eq \r(3)
C.eq \r(3)±1 D.eq \r(3)-1
解析:Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),0)),设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),2p),y1)),Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),2p),y2))(y1≠y2)。由抛物线定义及|PF|=|QF|,得eq \f(y\o\al(2,1),2p)+eq \f(p,2)=eq \f(y\o\al(2,2),2p)+eq \f(p,2),所以yeq \o\al(2,1)=yeq \o\al(2,2),又y1≠y2,所以y1=-y2,所以|PQ|=2|y1|=2,|y1|=1,所以|PF|=eq \f(1,2p)+eq \f(p,2)=2,解得p=2±eq \r(3)。
答案:A
4.(2016·济南模拟)已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(2),3)
C.eq \f(2\r(2),3) D.eq \f(2,3)
解析:
设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点P(-2,0),如图过A,B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点,连接OB,则|OB|=eq \f(1,2)|FA|,所以|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,故点B的坐标为(1,2eq \r(2)),把B点坐标代入直线方程得k的值为eq \f(2\r(2),3)。
答案:C
5.(2016·孝感模拟)直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若AB中点的横坐标为3,则线段AB的长为( )
A.5 B.6
C.7 D.8
解析:设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l0,A(xA,yA),B(xB,yB),C是AB的中点,其坐标为(xC,yC),分别过点A,B作直线l0的垂线,垂足分别为M,N,由抛物线的定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|
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