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2017年高考数学(人教版文)一轮复习课时作业23第三章三角函数、解三角形7
课时作业(二十三) 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1.(2016·昆明一模)已知△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若A=eq \f(π,3),b=2acosB,c=1,则△ABC的面积等于( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),4) C.eq \f(\r(3),6) D.eq \f(\r(3),8)
解析:由正弦定理得sinB=2sinAcosB,故tanB=2sinA=2sineq \f(π,3)=eq \r(3),又B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(2π,3))),所以B=eq \f(π,3),则△ABC是正三角形,所以S△ABC=eq \f(1,2)bcsinA=eq \f(\r(3),4)。
答案:B
2.(2016·广州综合测试)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=2B,则eq \f(c,b)为( )
A.2sinC B.2cosB
C.2sinB D.2cosC
解析:由于C=2B,故sinC=sin2B=2sinBcosB,所以eq \f(sinC,sinB)=2cosB,由正弦定理可得eq \f(c,b)=eq \f(sinC,sinB)=2cosB,故选B。
答案:B
3.(2016·东北三省二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且eq \f(c-b,c-a)=eq \f(sinA,sinC+sinB),则B=( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(3π,4)
解析:由sinA=eq \f(a,2R),sinB=eq \f(b,2R),sinC=eq \f(c,2R),代入整理得:eq \f(c-b,c-a)=eq \f(a,c+b)?c2-b2=ac-a2,所以a2+c2-b2=ac,即cosB=eq \f(1,2),所以B=eq \f(π,3)。
答案:C
4.(2016·烟台期末)在△ABC中,若lg(a+c)+lg(a-c)=lgb-lgeq \f(1,b+c),则A=( )
A.90° B.60°
C.120° D.150°
解析:由题意可知lg(a+c)(a-c)=lgb(b+c),
∴(a+c)(a-c)=b(b+c),
∴b2+c2-a2=-bc,
∴cosA=eq \f(b2+c2-a2,2bc)=-eq \f(1,2)。
又A∈(0,π),∴A=120°,选C。
答案:C
5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则eq \f(2sin2B-sin2A,sin2A)的值为( )
A.-eq \f(1,9) B.eq \f(1,3)
C.1 D.eq \f(7,2)
解析:由正弦定理可得eq \f(2sin2B-sin2A,sin2A)=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinB,sinA)))2-1=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2-1,因为3a=2b,所以eq \f(b,a)=eq \f(3,2),
所以eq \f(2sin2B-sin2A,sin2A)=2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2-1=eq \f(7,2)。
答案:D
6.(2016·石家庄一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足csinA=eq \r(3)acosC,则sinA+sinB的最大值是( )
A.1 B.eq \r(2)
C.eq \r(3) D.3
解析:由csinA=eq \r(3)acosC,所以sinCsinA=eq \r(3)sinAcosC,即sinC=eq \r(3)cosC,所以tanC=eq \r(3),C=eq \f(π,3),A=eq \f(2π,3)-B,所以sinA+sinB=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)-B))+sinB=eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B+\f(π,6))),
∵0<B<eq \f(2π,3),∴eq \f(π,6)
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