3.1回归分析的基本思想和其应用初步B.docVIP

〖人教版高中数学选修2—3〗 第三章 统计案例 §2．1 回归分析的基本思想及其初步应用 第2课时 残差分析 教学过程 一．回归模型 【探索1】 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359现在的问题是：身高为172cm的女大学生的体重一定为60．316kg吗？ 分析：身高为172cm的女大学生的体重不一定为60．316kg，但一般可以认为她的体重在60．316kg左右，如图，由样本点和回归直线的位置关系说明这一点． 1．回归模型 由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一条直线的附近，所以身高和体重的关系可以用线性回归模型 来表示，这里和为模型的未知参数，是与之间的误差． 通常是随机变量，称为随机误差，它的均值，方差，这样 ， ② 称为线性回归模型． 说明：⑴随机误差的方差越小，用预报真实值的精确度就越高，故随机误差是引起预报值与真实值之间存在误差的原因之一； ⑵由于、是、的估计值，它们之间也存在误差，这种误差是预报值与真实值之间存在误差的另一原因． 2．残差与残差图 【思考1】 产生随机误差的原因是什么？ 分析：一个人的体重除了受身高的影响外，还受到其他许多因素的影响．例如遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素． 事实上，我们无法知道身高和体重之间的确切关系是什么，这里只是利用线性回归方程来近似地表示这种关系． 【探索2】 在线性回归模型中，是用预报真实值的随机误差，它是一个不可观察的量，那么应该怎样研究随机误差呢？ 分析：在实际应用中，我们用回归方程 中的估计．由于随机误差，所以是的估计量． 对于样本点 ，，…，． 而言，它们的随机误差为 ，． 其估计值为 ，． 称为相应点的残差． 【思考2】 在实际问题中，如何发现数据中的错误？如何衡量模型的拟合效果呢？ 分析：我们可以通过残差发现数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果． 下表列出了8名女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据： 编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差－6.3732.6272.419－4.6181.1376.627－2.8830.382我们可以通过图形来分析残差的特征，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选用样本的编号，或身高数据，或体重估计值，这样作出的图形称为残差图，如图所示． 从图形可以看出，第1个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误，如果数据采集有错误，就要予以纠正． 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高． 3．相关指数R2 另外，我们还可以用 来刻画回归的效果． 对于已经获取的样本数据，R2表达式中的为确定的数．因此R2越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差． 在上例中，通过计算，得出R2＝0.64，表明“女大学的身高解释了64%的的体重变化” ． 一般地，建立回归模型的基本步骤为： （1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量． （2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）． （3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）． （4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）． （5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等． 二．回归模型拟合效果分析 【例1】 下列说法错误的是 （　　） A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．线性回归方程对应的直线 = x+至少经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好 【解析】 根据相关关系的概念知A正确； 根据线性回归直线不一定过样本数据点中