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3.5 求解有限元方程的几个问题
与变分问题等价的有限元方程，表达式均为
剩下几个问题：(1) 第一类边界条件如何施加？
(2) 位的离散解求得之后，如何求解场矢量？
(3) 有限元方程组如何求解？
1. 第一类边界条件如何强加
分析所建立的有限元方程：
如果节点是场域中第一类边界上的节点，对应位值，则点的位值无需计算：
矩阵中第m行元素、、…、、、…、均可置零，处置1；
可用直接代入，即处置；
在其余个方程里，它的第项都是已知项：，可以移到等号右端列矩阵之中相应的位置上
于是矩阵第列除外，其余元素也全部置零。
由上可知：第一类边界条件的“强加”是该边界上的节点所对应代数方程中的直接处理方式，并影响到各个代数方程。若有第一类边界节点个，就需要作次处理，才能得到与变分问题相对应的有限元方程：
式中以用处理后的系数矩阵和已知列阵来反映。
应注意：有限元方程是阶方程组，强加边界条件的处理使变成满秩矩阵，方程有唯一解。
2. 求解场矢量
（1）三节点三角形单元是一阶单元，以线性插值来逼近原函数的解，以微分求解单元中的场矢量，如求电场：
显然解答中单元内是均匀电场，单元内的电场强度为一常矢量。从总体上来说是以小单元中的均匀逼近原电场的分布，可知单元剖得细一些，逼近度就越好。
（2）若计算节点处的场量，需要综合考虑节点周围单元的场强值，比较好地确定该节点的场量。常用的方法有：算术平均值法、加权平均值法等。
a．算术平均值法
以n为该节为顶点的单元数
b．加权平均值法
以面积为权数
，
（3）同一单元中是均匀场，不同单元中场强值不同，显然在单元边界上场量不连续。由此可见位函数作线性插值时虽然满足相容性条件，但同种媒质中的场量在单元边界上发生突变，也必然会出现在媒质分界面上场量因不属同一单元而不能满足应有的连续性条件，这说明通过一阶插值的有限元计算所得场量会出现不符合场分布规律的缺陷。
请考虑，??以单元二阶插值，上述的缺陷还存在与否？
3. 代数方程组的求解
一般可将代数方程组的解法分为直接法、迭代法和值化方法。
用计算机求解代数方程组，由于计算机“字长”的限制，计算中会有舍入误差的累积，所以不管用以上哪类方法，所得数值解是一种近似解。
有关代数方程组的解法，大家将在“数值分析”课程中要学习或已经学习，所以，在此我就不再多述。
习题:
4. 若以三角单元三条边中点也为节点，构造6节点的单元二阶插值，在媒质分界面上单元边或同一媒质中的单元边处场矢量能否满足应有的连续性条件？
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