波音公司飞机最佳定价策略.doc

方程求解 本章学习目的： 1．复习求解方程的基本原理和方法，掌握解方程的迭代算法； 2．能利用MATLAB软件编写迭代算法程序，了解迭代过程的图形表示； 3．熟练掌握用MATLAB软件的函数来求解方程和方程组； 4．通过范例展现求解实际问题的初步建模过程和MATLAB程序设计。 §2.1 引言 “方程是很多工程和科学工作的发动机”。研究大型的土建结构、机械结构、输电网络、管道网络，研究经济规划、人口增长、种群繁殖等问题时，简单的分析可以直接归结为线性或非线性方程组，复杂一些要用到（偏）微分方程，求数值解时将转化为n非常大的方程组。若干世纪以来，工程师和科学家花了大量的时间用于求解方程（组），数学家研究各种各样的方程求解方法。 本章我们就是要学习求解线性方程组、非线性方程（组）的方法，以及利用数学软件利用计算机对方程和方程组进行求解。 §2.2 方程的求解方法 考虑求方程f(x)=0的解，我们通常采用这样的几种方法：因式分解法、图形放大法、数值迭代逼近法。 1．因式分解法： 这是我们最熟悉、常用的一种方法，这个方法的关键在分解因式，包括对多项式函数、三角函数和指数函数等的分解。但对于无法进行分解的函数则无能为力。 2．图形放大法： 由于计算机的广泛应用，可以非常方便地作出函数f(x)的图形（曲线），找出曲线与x轴的交点的横坐标值，就可求出f(x)＝0的近似根。这些值尽管不精确，但是直观，方程有多少个根、在什么范围，一目了然。并且可以借助于计算机使用图形局部放大功能，将根定位得更加准确。 3．数值迭代逼近法： 利用图形的方法或连续函数的零点存在性定理，可以推知f(x)在某一区间内有根，我们就可以用数值方法来求方程的根，这就是迭代逼近法。 迭代逼近法分为区间的迭代和点的迭代。 区间迭代又分为对分法和黄金分割法；点的迭代又分为简单迭代法、单点割线法、两点割线法、牛顿法等。迭代失败后又可以采用加速迭代收敛方法。各种迭代方法原理都很简单（详见教材p41），请同学们自学。 图形放大法 用图形放大法求解方程f(x)＝0的步骤： 建立坐标系，作曲线f(x)； 观察f(x)与x轴的交点； 将其中的一个交点进行局部放大； 该交点的横坐标值就是方程的一个根； 对所有的交点进行相同的处理，就得到方程的所有解。 例2.1 求方程所有的根及大致分布范围，欲寻求其中的一个实根，并且达到一定的精度。 画出的图形； x=-6:0.01:6; y=x.^5+2*x.^2+4; plot(x,y) grid on; 我们可以看出方程在－2～＋2范围有一个实根。 逐次缩小范围得到较精确的根。 x=-2:0.01:2; y=x.^5+2.*x.^2+4; plot(x,y) grid on x=-2:0.01:-1.5; y=x.^5+2.*x.^2+4; plot(x,y) grid on x=-1.6:0.01:-1.5; y=x.^5+2.*x.^2+4; plot(x,y) grid on 因此我们可以看出这个实根的值在-1.55~-1.5之间。 简单迭代法 1．迭代算法步骤： 对方程f(x)=0求解 对方程经过简单变形得到（不是唯一的），x 被称之为不动点； 设置为迭代初值，迭代过程为，n=0,1,2…… 当两次迭代结果之差小于某个设定的误差值时，我们认为迭代结果是收敛的，可得到结果的近似值。 例2．2 求方程的非负实根。 解：由于函数连续，并且在x=0和x=1处函数值符号相反，可以判断函数在区间（0，1）必有零点，即方程在（0，1）内必然存在根。 先将函数变形为； 设置迭代初值为0，编程进行迭代。 n=1;x=0; y=exp(x)/3; ys=vpa(y,10); z=abs(y-x); while z10^(-5) x=y; y=exp(x)/3; ys=vpa(y,10); z=abs(y-x); n=n+1; end n,y,ys n = 21 y = 0.6190 ys = .6190471917 从该结果可以看出，迭代21次后两次迭代的结果误差值满足小于的条件，结果收敛，迭代结果为0.6190，若保留小数点后10位有效数字则结果为0.6190471917。 用迭代方法求解方程 解：（1）对方程变形为，有不同的形式，比如 ； (a) ； (b) ；…… (c) （2）设定初始值为1，编程迭代求解 x=1;y=1;z=1; for k=1:25 x=x^3-x^2-1; y=(y^2+y+1)