流体力学3教程.doc

PAGE 44 PAGE 43 第三章 流体运动学 学习要点：熟练掌握恒定流、均匀流、流线、流管、流量、一维流、有旋流与无旋流等基本概念； 掌握连续性微分方程、一维连续性积分方程、流体微团的运动分析、描述流体运动的欧拉法和流线的性质；了解迹线、二维流和非恒定流动等基本概念、描述流体运动的拉格朗日法、质点加速度的表达式。 第一节 流体运动的描述 流体运动学研究流体的运动规律，包括描述流体运动的方法、质点速度、加速度的变化和所遵循的规律。本章不涉及流体的动力学性质，所研究的内容及其结论，对无粘性流体和粘性流体均适用。 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续介质的流动。怎样用数学物理的方法来描述流体的运动？这是从理论上研究流体运动规律首先要解决的问题。 图3—1 拉格朗日法 描述流体运动有两种方法，有欧拉（Leonhard Euler，瑞士数学家及自然科学家，公元1707～1783年）法和拉格朗日(Lagrange，J.法国数学家、天文学家，公元1736～1813)法。 一、拉格朗日法 拉格朗日法是把流体的运动，看作无数个质点运动的总和，以部分质点作为观察对象加以描述，将这些质点的运动汇总起来，就得到整个流动。拉格朗日法也称为迹线法。 拉格朗日法为识别所指定的质点，用起始时刻的坐标(a，b，c)作为该质点的标志。其位移就是起始坐标和时间变量的连续函数（图3—1）。 （3—1） 式中a,b,c,t称为拉格朗日变数。 当研究某一指定的流体质点时．起始坐标a，b，c是常数，式(3—1)所表达的是质点的运动轨迹。速度和加速度都是针对某一流体质点而言的，所以，将式(3—1)对时间进行一阶和二阶偏导数，在求导过程中a，b，c视为常数，便得该质点的速度和加速度。 速度： （3—2） 加速度： （3—3） 拉格朗日法是质点动力学方法的扩展，物理概念清晰。但由于流体质点的运动轨迹极其复杂，应用这种方法描述流体的运动在数学上存在困难，在实用上也不需要了解质点运动的全过程。所以，除个别的流动外，都应用欧拉法描述，本书后叙内容均属欧拉法。 二、欧拉法 欧拉法是以流动的空间作为观察对象，观察不同时刻各空间点上流体质点的运动参数，将各个时刻的情况汇总起来，就描述了整个流动。欧拉法也称为流线法。 由于欧拉法以流动空间作为观察对象，每时刻各空间点都有确定的运动参数，这样的空间称为流场，包括速度场、压强场、密度场等，分别表示为式（3—4）、（3—6）和（3—7）： （3—4） （3—5） （3—6） （3—7） 式中，空间坐标x，y，z和时间变量t称为欧拉变数。例如气象预报，就是由设在各地的气象台(站)在规定的同一时间进行观测，并把观测到的气象资料汇总，绘制成该时刻的天气因子，据此发布预报，这样的方法实为欧拉法。 三、流体质点的加速度，质点导数 拉格朗日法以个别质点为对象，式(3—3)即为指定质点（起始坐标a，b，c）的加速度表达式。下面讨论欧拉法质点加速度的表达式，求质点的加速度，就要跟踪观察这个质点沿程速度的变化，速度表达式中的坐标x，y，z是质点运动轨迹上的空间点坐标，不能视为常数，而是时间t的函数，即x＝x(t)、y＝y(t)、z=z(t）。加速度需按复合函数求导法则导出： （3—8） 分量形式： （3—9） 上式也可表示为： （3—10） 符号 （3—11） 式(3—10) 是欧拉法描述流体运动中质点加速度的表达式，式中包括因速度场随时间变化引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度；速度场随位置变化引起的加速度 图3—2收缩管出流 (称为迁移加速度或位变加速度，举例说明如下： 水箱中的水经收缩管流出(图3—2)，若水箱无来水补充， 水位逐渐降低，管轴线上质点的速度随时间减小，当地加速