3 线性方程组直接解法.ppt

第二章 线性方程组直接解法 ;主要内容;§2.0 概述;基本数学问题描述;实际用途与特征;传统理论解法使用价值; 求解AX=b的数值方法主要有：;直接法迭代法优缺点分析;直接法的基本思路;方法的理论依据;三角形方程组的解法; 其中L=[ lij ]为方程组(F-1)的系数所构成的下三角矩阵，其元素满足关系： lij = 0 ( ij );下三角形方程组LX=b的求解过程;上三角形方程组UX=d的求解过程;计算量分析（单位：次）;§2.1 消去法;Gauss消去法（简称消去法） 是大多数读者早已熟悉的方法 已提出相当长的时间了，属于古老方法 实践表明 它仍是直接法中最常用方法 也是最有效的方法之一 基本思想 用逐次消去一个未知数的办法 把原来的方程组化为等价的（即同解）三角形方程组 这样，解答就很容易求得 基本作法 对方程组(2-1)进行加减消元 相当于增广矩阵[A|b]的行初等变换;例2.1; 首先，我们来消去第(2)、(3)个方程中的未知数x1。具体操作如下：;步骤1：;消去法（n=4）的算法推导;第1次消去过程算法归结;第2次消去过程算法归结;第3次消去过程算法归结;回代过程（n=4）;Gauss消去法一般算法的推导;消去过程结果算法归结;回代过程算法归结;第k次消元---- 计算消元系数lij共（n-k）个，进行（n-k）次除法运算； 每一行计算增广矩阵中（n-k+1）个元素，每个元素需1次乘法运算； 共需(n-k)(n-k+1)次乘法运算； 而回代过程中，求 xk 需（n-k）次乘法运算，1次除法运算。 所以，以上过程所需乘（除）法运算次数为：; 如果仍使用每秒完成 104 次乘法运算的计算机，求解一个30阶的线性方程组，用Gauss消去法仅需 0.9 秒左右机时。 很显然，Gauss消去法的计算效率是相当高的。;开始;二、Gauss列主元消去法 ; 在具有四位标准浮点数（十进制）计算机上，用Gauss消去求解法，求解下列线性方程组;现在交换两个方程的位置，求解下列方程组;例2.2的四位有效数字的精确解为: x1=0.8109 x2=9.998;(1) 消元过程;(2)回代求解 ;[补充例题01];§2.2 直接三角分解法;在上节4阶线性方程组消去过程中，第一次消去得到 ;左乘得到的，即有:;最后，第三次消元相当于用方阵 ;我们有 ;再记 Y=b(3) U=A(3) （2-6） ;因此，Ai = Li Ui 即Ai 的顺序主子式 Di =| Ai |= |Li |·|Ui |=|Ui |= a11(0)…ai i(i-1)， 若规定D0 =1，则 aii(i-1)= Di / Di-1 ( i=1, 2 ,…, n-1 )。 这就是作矩阵LU分解。 我们将这一结论用定理来叙述： ; 以定理2.1为基础，再利用附录2.7中的知识，易证明下面两个更有实际价值的判别定理。 ;思路： 若判断了方阵A可做LU分解，就可按Gauss消去法。 可求出L和U矩阵解； 并将L和U矩阵的元素保留在A矩阵原来位置上。 仍以 n=4 为例。 ;例2.3 将下面矩阵A作LU分解 ;最后得到 ; 由(2-2)式AX=b和 (2-7)式A=LU可以得到 AX = LUX = b 再与(2-8)式LY=b进行对比，可以得到 UX = Y 进而，我们可以得到与原方程等价的两个特殊的联立方程组：;例2.4 利用LU分解求解矩阵方程 ;求解 LY=b，即 ;得 ;方法分析; 应注意到，L 为单位下三角矩阵，有det（L）=1，U为上三角矩阵，所以有; 如果矩阵A满足定理2.1的条件[A 的顺序主子式 Di≠0 (i=1,2,…,n-1)]，当然可以使用Gauss消去法得到A的LU分解。 另外, 我们可以按矩阵相等的定义和矩阵乘法规则，用待定系数法，推出直接由系数矩阵A计算L和U的算法。令： ;第一步：LU分解 ;即 li1 = ai1/ u11 (i=2,3,…,n) ;再比较式（2-10)两端第 r 列元素，有 ;第二步：求解 LY=b ;Doolittle分解的优点;节省内存，因为分解A完毕后，aij 的位置不用了，正好可以存入L、U的元素。如下图。;习题二 ;3．设 A=（aij），a11≠0，经过一步Gauss消去法得到 试证 （1）若A对称，则A 1对称； （2）若A严格对角占优，则A1严格对角占优。 ;习题二答案与提示;逆矩阵的计算方法;对角占优矩