NOIP2000_2009提高组解题报告.docVIP

NOI分区联赛 - 2000年第六届提高组试题解析 注意：解析和源程序均为OIBH站长刘汝佳所写，疏漏在所难免，但至少程序均通过了比赛时使用的测试数据， 所以还是可以一看。 第一题： 大家对正数进制的转换应该比较熟悉吧！（不会的看我的《循序渐进》） 负数进制一样。每次取的余数保证在0~-m-1之间。（例如m=-16,则余数应该在0~15）就可以直接输出。 所以用系统的“mod”运算符的时候必须注意检查是不是在该范围（可能在m+1~0），否则就调整。 调整的方法是： if 余数0 then begin 余数=余数-m; 商=商+1; end; 程序见附件。 第二题： 很明显的动态规划。 令d[i,j,k]为第i个数字到第j个数字加k个乘号所能够达到的最大值。 状态转移方程是： d[i,j,k]=max{num[i,t]*d[t+1,j,k-1]} (枚举t, 满足i=t=j-1) 注意到状态转移的时候总是使k减小（或不变）的，所以把k作为阶段来递推（节约空间）。 在每个状态中，l=j-i越来越小，所以从l=0递推到l=n 即： for k:=1 to c do for l:=0 to n do for i:=1 to n do 递推d[i,j,k] 显然，用两个数组记录d[i,j,k]和d[i,j,k-1],就可以只用两维：d[i,j] 于是算法框架就是(请对照我的源程序)： 初始化d1[i,j] for k:=1 to c do begin for l:=0 to n do for i:=1 to n do 用d1[i,j](k-1阶段)递推d2[i,j]（k阶段） d1:=d2; {节省空间，因为递推的时候只与上个阶段有关，故只保留相邻两个阶段} end; 高精度乘法的方法我不是用的模拟手算的过程（这个大家会做吧），而用了类似 多项式乘法的方法，因为我觉得这种写法很好记！(大家仔细看看我的mul过程) 程序见附件。 第三题： 有哪些信誉好的足球投注网站。数据很小，因此回溯就可以了。程序先预处理,建立矩阵add[i,j] 即第j个串连在第i个串之后能增加的长度。0代表j不能增加i的后面。 一个需要注意的地方： 计算add[i,j]的时候要计算最大可能值！ 例如： ABABABAB和ABABABC就是5,不是1！ 现在没有问题了吧。为了方便和直观，我采用递归实现回溯有哪些信誉好的足球投注网站。程序见附件。 第四题： 有同学有哪些信誉好的足球投注网站第一个人，拣了以后第二个人用动态规划，一定能得最优解，但时间效率不大高。 有同学采用贪心，即用动态规划算出第一个人最大能拣的数，再在剩下的数中用动态规划。 反例如下： 1 9 1 0 0 0 1 9 1 第一次是： 1-9-9-1 第二次是：1 和是21 但显然可以两次把所有的数拣完(22)。 本题是典型的多维动态规划，很象IOI93的第四题,另一个算法是网络流，很象IOI97第一题， 这里我只分析前者。这道题目的简单之处是阶段很好划分（对角线），这种方法我就不介绍了， 因为很多地方都有介绍。这里讲一种怪一点的动态规划^_^ 容易想到的思路是： 令d[x1,y1,x2,y2]表示甲在x1,y1,乙在x2,y2以后（包括取走(x1,y1)）的过程中可以获得的最大和。 则d[1,1,1,1]就是原问题的解。 但是是否能取数和另一个人是否事先已经到过该格子有关，我们需要设计一种走的方法，使得只根据x1,y1, x2,y2就能判断一些关键的格子是否已经到达过。这样，问题才具有无后效性。 为此，我们把路线作如下处理： 1)当两个人路线有交叉的时候，改成等效的，不交叉的。 如下图，1代表第一个人，2代表第二个人。X代表相遇点。 X111 2 1 222X2 12 12 1X1 2X 变成： X222 1 2 111X2 12 12 1X2 1X 反正让2走右边就行了。 2)现在1在第y1列，2在第y2列，让1和2分别向右走,到达yy1和yy2列，然后向下走一格 这样如果yy1 y2,便是分别取走第y1~yy1,y2~yy2列数，否则路线有重复，就取走y1~yy2的数。 为了方便连续取数，我用了一个sum[x,y1,y2]的数组，就是第x行的y1~y2的数。 请看我的程序中的相应部分。 这样，所有的走法都可以转换成上述的，具有无后效性的结构了。 由于递推是从d[x1,y1,x2,y2]到d[x1+1,y1,x2+1,y2],而总有x1=x2=x,所以可以把状态节省为：d[y1,y2] 而把x(当前行)作为阶段来递推： for x:=n-1 downto 1 do begin for y1:=1 to n do for y2:=y1 to