不定方程组xyzw和x2y2z2w2.doc

不定方程组x+y+z=w与x^2+y^2+z^2=w^2 令p，q，r为非零整数，p+q+r=0，则方程组 ⑴ x+y+z=w x^2+y^2+z^2=w^2 具有整数解 x=(-p^2+q^2+r^2)/2=-qr y=(p^2-q^2+r^2)/2=-pr z=(p^2+q^2-r^2)/2=-pq w=(p^2+q^2+r^2)/2=q^2+qr+r^2 且满足勾股方程 (2x)^2+(y-z)^2=(x+w)^2 (2y)^2+(z-x)^2=(y+w)^2 (2z)^2+(x-y)^2=(z+w)^2 由于(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2=2w^2，实际上有p^4+q^4+r^4=2(q^2+qr+r^2)^2 定理1 令pi，qi，ri为非零整数，pi+qi+ri=0，wi=qi^2+qiri+ri^2，1≤i≤2 则方程组 ⑵ x+y+z=w1w2 x^2+y^2+z^2=(w1w2)^2 具有两组解 x=(p1p2-q1q2)(p1p2-r1r2)，y=(q1q2-r1r2)(q1q2-p1p2)，z=(r1r2-p1p2)(r1r2-q1q2) 或 x=(p1p2-q1r2)(p1p2-r1q2)，y=(q1r2-r1q2)(q1r2-p1p2)，z=(r1q2-p1p2)(r1q2-q1r2) 证明 令P1=q1q2-r1r2，Q1=r1r2-p1p2，R1=p1p2-q1q2，则P1+Q1+R1=0 令方程组⑴中 x=-Q1R1=(p1p2-r1r2)(p1p2-q1q2) y=-P1R1=(q1q2-r1r2)(q1q2-p1p2) z=-P1Q1=(r1r2-q1q2)(r1r2-p1p2) 则w=(P1^2+Q1^2+R1^2)/2=[(q1q2-r1r2)^2+(r1r2-p1p2)^2+(p1p2-q1q2)^2]/2 =(p1p2)^2+(q1q2)^2+(r1r2)^2-p1q1×p2q2-q1r1×q2r2-r1p1×r2p2 =(p1p2)^2+(q1q2)^2+(r1r2)^2-(p1^2+q1^2-r1^2)/2×(p2^2+q2^2-r2^2)/2- (-p1^2+q1^2+r1^2)/2×(-p2^2+q2^2+r2^2)/2-(p1^2-q1^2+r1^2)/2× (p2^2-q2^2+r2^2)/2 =(p1^2+q1^2+r1^2)/2×(p2^2+q2^2+r2^2)/2 =(q1^2+q1r1+r1^2)(q2^2+q2r2+r2^2)=w1w2 可知x=(p1p2-q1q2)(p1p2-r1r2)，y=(q1q2-r1r2)(q1q2-p1p2)，z=(r1r2-p1p2)(r1r2-q1q2)为方程组⑵的一个解。 令P2=p1p2-q1r2，Q2=q1r2-r1q2，R2=r1q2-p1p2，则P2+Q2+R2=0；又令 x=-Q2R2=(r1q2-q1r2)(r1q2-p1p2) y=-P2R2=(p1p2-q1r2)(p1p2-r1q2) z=-P2Q2=(q1r2-p1p2)(q1r2-r1q2) 同理可证w=(P2^2+Q2^2+R2^2)/2=w1w2，即 x=-Q2R2=(r1q2-q1r2)(r1q2-p1p2) y=-P2R2=(p1p2-q1r2)(p1p2-r1q2) z=-P2Q2=(q1r2-p1p2)(q1r2-r1q2) 为方程组⑵的又一解。 定理2 令pi，qi，ri为非零整数，pi+qi+ri=0，wi=qi^2+qiri+ri^2，1≤i≤3；则方程组⑶ x+y+z=w1w2w3 x^2+y^2+z^2=(w1w2w3)^2 具有4组解：x=-QR，y=-PR，z=-PQ，式中P，Q，R表为 ① P=p1p2p3+q1q2r3+r1r2q3，Q=q1q2q3+r1r2p3+p1p2r3，R=r1r2r3+p1p2q3+q1q2p3 ② P=p1p2p3+q1r2r3+r1q2q3，Q=q1r2q3+r1q2p3+p1p2r3，R=r1q2r3+p1p2q3+q1r2p3 ③ P=p1p2p3+q1q2q3+r1r2r3，Q=q1q2r3+r1r2p3+p1p2q3，R=r1r2q3+p1