偏微分方程数值解法期末考试卷答案.docVIP

PAGE  PAGE 3 期 末 考 试 试 题 答 案 及 评 分 标 准 学年学期： 专 业： 数学与应用数学 班 级： 数学 课 程： 偏微分方程数值解法 教学大纲： 《偏微分方程数值解法》教学大纲（自编，2006） 使用教材： 《偏微分方程数值解法》 教材作者： 陆金甫、关治 出 版 社： 清华大学出版社 一、判断题（每小题1分，共10分） 1、（O） 2、（O） 3、（X） 4、（X） 5、（O） 6、（O） 7、（O） 8、（X） 9、（X） 10、（O） 二、选择题（每小题2分，共10分） 11、（D） 12、（A） 13、（C） 14、（B）15、（C） 三、填空题（每小题2分，共20分） 16、 17、A=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) 19、help 20、zeros(m,n) 21、inva(A)*b或者A/b 22、A=sym([cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3]) 23、 24、 25、 四、计算题：（每小题12分，共36分） 26、写成对流方程（）的有限差分方程（两层显示格式，用第n层计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式为网格比。 解：在点处，差分方程为 （，）（8分） 便于计算的形式为 ， （4分） 27、写出扩散方程的有限差分方程（中心差分格式，用第n层计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式，为网格比。 解 所给对流扩散方程的近似差分方程为 （，）（8分） 便于迭代计算的格式为 ， （4分） 28、计算差分格式，（其中，）的增长因子，并根据von Neumann条件给出差分格式稳定性条件。 解 令，代入，得到 消去公因子有 （6分） 增长因子为 所以有 如果，则有，根据von Neumann条件，格式是稳定的。（6分） 五、证明题（12分） 29、把下列Richardson格式改写为与其等价的二层差分格式，利用求增长矩阵的特征值的方法证明该格式破坏了von Neumann条件，从而证明此格式不稳定。 ， 证明 把已知的三层格式化为二层差分方程组 令，则以上方程组可以改写为 （4分） 或 令，代入上式消去公因子，得到 （4分） 化简系数矩阵得到 其特征值为 取正的为，则有 由此不满足von Neumann条件，所有Richardson格式是不稳定的。（4分） 六、编程题（12分）： 30、用Matlab的M文件的形式（function函数）写出以下迭代格式的计算程序。 ， 初始条件为，。 解 设a为方程中的系数a，tao为时间步长，为空间步长，N，M分别为时间和空间的最大计算步数。function函数如下 function [u]=jch(a,tao,h,N,M) % u=1; t=0.5; x=1; lamda=tao/h; for j=1:N x(j+1)=x(j)+tao; for n=1:M t(n+1)=t(n)+h; if j==1 u(j,n)=sin(pi*x(j)); else if n==1 u(j,n)=0; else u(j,n)=(1-a*lamda)*u(j,n-1)+a*lamda*u(j-1,n-1); %u(j,n)=0; end end end end end