八年级上册数学《三角形》和三角形有关的角知识点整.docVIP

???与三角形有关的角 ? ??一、本节学习指导? ? 本节知识点比较多要熟练掌握知识点：1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题；４．学会添加辅助线构造基本图形解决问题．? ??二、知识要点? ??１、三角形内角? ??（１）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．? ? 表示为：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180°．? ? 由三角形内角和定理可得：? ? ①直角三角形的两个锐角互余.? ? ②有两个角互余是三角形是直角三角形.? ??（２）作用：? ? 在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角；已经知道了三角形的内角和等于180°，但要注意的是在解决实际问题时，这一点是不会在已知中说出，往往要把它作为隐含的条件来用．? ? 三角形内角和定理证明方法很多，定理的证明需要添加辅助线，通过辅助线将角转移和集中，把隐含的条件显现出来．? ? 如几种常见的证明思路：? ??思路1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．? ???? ? 因为AB∥CD（已知），? ? 所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．? ? 又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），? ? 所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．? ??思路2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F．? ???? ? 因为DF∥AC（已作），? ? 所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），? ? ∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．? ? 因为DE∥AB（已作）．? ? 所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．? ? 所以∠A=∠2（等量代换）．? ? 又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），? ? 所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．? ??思路3：如图3所示，过A点任作直线l1，过B点作?l2∥l1，过C点作l3∥l1，? ???? ? 因为l3∥l1?（已知）．? ? 所以∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）．? ? 同理∠3=∠4．? ? 又?l2∥l1?（已知），? ? 所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．? ? 所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．? ? 又∠2+∠3=∠ACB，? ? 所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．? ??思路4：如图4，将ΔABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角。? ???? ??思路5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A，得CD∥AB，有∠2＝∠B；? ? 在图5－2中过A作MN∥BC有∠1＝∠B，∠2＝∠C，进而将三个内角拼成平角。? ???? ??２、三角形的外角? ? （１）概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.? ? （２）三角形有六个外角，每个顶点处有两个外角，但算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角和是指三个外角的和，三角形的外角和为360°；和外角有共同顶点的内角叫做和这个外角相邻的内角，它们是互补的，互为邻补角，另外两个内角叫做和这个外角不相邻的内角．? ??３、三角形外角的性质? ??（1）、三角形的一个外角等于“与它不相邻”的两个内角的和.? ??①推理过程：? ? 如图所示：? ???? ? 因为∠ACD+∠ACB=180°（邻补角定义），? ? ∠ACB+∠A+∠B=180°（内角和定理），? ? 所以∠ACD=∠A+∠B（等量代换）．? ??②作用：已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”；? ? 可证一个角等于另两个角的和；? ? 经常利用它作为中间关系式证明两个角相等。? ??（2）、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.?如上图所示，∠ACD∠A或∠ACD∠B．? ??注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思．如 “和它不相邻”的意义．? ??４、解题小技巧? ? （1）、三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件．在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小．? ? （2）、在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角.? ? （3）、三角形内角和定理和三角形外角