新华教育高中部数学同步人教A版必修二第2章直线、平面垂直的判定及其性质学习过程.doc

2、3 直线、平面垂直的判定及其性质 学习过程 知识点1：线面垂直的判定定理：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 知识点2：面面垂直的判定定理：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，OB⊥L； （2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关； （3）当二面角的平面角是直角时，这两个平 面的位置关系怎样？ 承上启下，引导学生观察，类比、自主探究， β B 获得两个平面互相垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 C O A 知识点3：线面垂直的性质定理： 1、操作确认 观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图2.3—4，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？ C1 D1 a b A1 B1 α D C A B 图2.3-4 图2.3-5 2、推理证明 引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法， 然后师生互动共同完成该推理过程 ，最后归纳得出： 垂直于同一个平面的两条直线平行。 知识点4：面面垂直的性质定理：如图，设α⊥β，α∩β＝CD，ABα，AB⊥CD，且AB∩CD＝B，我们看直线AB与平面β的位置关系。 在β内作直线BE⊥CD，垂足为B，则∠ABE是二面角 α－CD－β的二面角，由α⊥β知，AB⊥BE，又AB⊥CD， BE与CD是β内的两条相交直线，所以AB⊥β。 一般地，我们得到平面与平面垂直的性质定理。 定理　两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 学习结论 1．线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 2．面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 3．线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 4．面面垂直的性质定理：两个平面垂直???则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 典型例题 例1、已知O是△ABC的外心，P是平面ABC外的一点，且PA=PB=PC，α是经过PO的任意一个平面，则（　　） A.α⊥平面ABC B.α与平面ABC不垂直 C.α与平面ABC可能垂直也可能不垂直 D.以上都不对 答案：A 解析：由O是△ABC的外心，PA=PB=PC可得，PO⊥平面ABC，∴α⊥平面ABC. 例2、如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC。 　　证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，有 PA⊥α，BC在α内， 所以，PA⊥BC， 因为，点C是不同于A，B的任意一点，AB为⊙O的直径， 所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA 又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线， 所以，BC⊥平面PAC， 又因为BC在平面PBC内， 所以，平面PAC⊥平面PBC。 例3、如图，已知平面α，β满足α⊥β，直线a满足a⊥β，aα，试判断直线a与平面α的位置关系。 解：在α内作垂直于α与β交线的直线b， 因为α⊥β，所以b⊥β， 因为a⊥β，所以a∥b， 又因为aα，所以a∥α， 即直线a与平面α平行。 例4、设直线a，b分别在正方体ABCD－A’B’C’D”中两个不同的平面内，欲使 a∥b，则a，b应满足什么条件？ 　解析：a，b满足下面条件中的任何??个，都能使a∥b， （1）a，b同垂直于正方体一个面； （2）a，b分别在正方体两个相对的面内且共面； （3）a，b平行于同一条棱； （4）如图，E，F，G，H分别为B’C’，CC’，AA’，AD的中点，EF所在的直线为a，GH所在直线为b，等等