方程法在山东高考题中运用.doc

关于“方程思想”-----------对比：思考2005年山东文科22题。 设A、B是轨迹C：上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为和当变化且时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标. （法一）韦达定理 如图,设由题意得（否则） 且所以直线AB的斜率存在,设其方程为. 显然将与联立消去 得由韦达定理知 由，得得：1= 将（＊）式代入上式整理化简，得：即所以，AB恒过定点 （法二）方程法 由法一知：得：1= 即：（*） 设，由直线AB方程为： 即：，将（*）式代入得： 所以，AB恒过定点 注：此题将看成整体参数，作为一个变量处理！ （法三）较麻烦，在此略！ 对比两种解法： 体现方程思想的手段常见有：韦达定理、直接利用方程（抛物线设点）！ 体现运算能力：“量”与“式”的把握！法一是寻找两个变量的关系完全类似于2007山东理科21题；法二是对变量的整体把握（看成一个变量）！ 2005年山东理科22题与文科仅仅一点差别“”换成“=”，方法无异！ 2006山东高考理科21题： 双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。 （1）求双曲线C的方程； （2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。 解：（Ⅰ）双曲线的方程为 （Ⅱ）解法一（韦达定理） 由题意知直线的斜率存在且不等于零，设的方程：，则. ，. ，，，又， 即，将代入得 ，否则与渐近线平行。。 解法二（方程法）： 由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程：，则 在双曲线上， 同理有： 若则直线过顶点，不合题意. 是二次方程的两根.， 此时.所求的坐标为. （2008山东高考理科22题（3）问） 如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为． （Ⅰ）求证：三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅲ）（法一：方程法） 解：设，由题意得，则的中点坐标为， 设直线的方程为，由点在直线上，并注意到点也在直线上， 得．若在抛物线上，则，因此或．即或． （1）当时，则，此时，点适合题意． （2）当，对于，此时，，又，， 所以，即，矛盾． 对于，因为，此时直线平行于轴，又， 所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的点． 综上所述，仅存在一点适合题意． （法二：数形结合）若则显然成立，为（0，-2p） 若， 显然此时，结果与前提矛盾！ 注意：此问目前为止没发现“韦达定理法”！ 2009山东高考理科22题（3）： 椭圆E的方程为，已知圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且。求|AB |的取值范围. 解析： （法一：韦达定理法。略） （法二：方程法（函数法）） 再求是如果巧用“圆”的“数形结合”特性，也会是问题得到大大化简！ 通过题目不难发现，设直线与圆相切于T点，在直角三角形OAB中，,设，由射影定理知，，又。可以解得 下面求范围应该较答案法简单不少！此题充分说明“圆”与“椭圆”处理方式的区别，圆是“数形结合的精灵”，椭圆是体现“代数方法（坐标）研究几何问题的载体！”两者在高考考察是有明确（见考试说明-------掌握椭圆方程几何性质性质；通过圆锥曲线理解数形结合的思想等）体现的！ A O T 此题还可以用三角代换法，还记得“三角代换”吗？像朵永不凋零的花。 （法三）三角代换： 如图，设， 我觉得，函数既然是方程的一种形式，函数法或者导数法当然也属于“方程法”！ （2009山东文22（3）） 设直线与圆C:(1R2)相切于A1,且与轨迹E：只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解读：此题与2013山东理科22题（3）极为类似。 法一联立判别式的方式不再展开了，也是运算量很大很大！ 法二：方程法+导数 ，由于直线是圆C与椭圆E公切线， 由椭圆切线知：， 椭圆切线的方程为：；同时作为圆的切线得： 。 2010山东高考理科21题（2）问 解析 （Ⅱ）设点P（，），则=，=，所以=， 又点P（，）在双曲线上，所以有，。。。。。。。。。。。。此处为典型的方程法。 即，所以=1。 2011山东理科22题（1） 已知直线l与椭圆C: 交于P.Q两不同点，且△OPQ的面积S=,其中Q为坐标原点。证明:和均为定值 解：（法一：韦达定理法—简析）当直线的斜率不存在时，。。。。。。 ，. 当直线的斜率存在，设直线为，代入可得 ，即，，即 ， 则，满足，， ，综上可知，. （法二：方程法）：P Q ? 先讨论?