曲边梯形面积和定积分(二)教案.doc

1.4.1　曲边梯形面积与定积分 【学习要求】 1．了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质． 【学法指导】 通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义. 1．定积分：设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0x1x2…xn－1xn＝b，把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点ξi，作和式In＝(ξi)Δxi.当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?f(x)dx ，即?f(x)dx＝(ξi)Δxi___. 2．在定积分?f(x)dx中，f(x) 叫做被积函数，a 叫做积分下限，b叫做积分上限，f(x)dx 叫做被积式． 3．如果函数f(x)在[a，b]的图象是，则f(x)在[a，b]一定是可积的． 4．定积分的性质 (1)?kf(x)dx＝ k?f(x)dx (k为常数)； (2)?[f1(x)±f2(x)]dx＝ ?f1(x)dx ± ?f2(x)dx ； (3)?f(x)dx＝ ?f(x)dx ＋ ?f(x)dx (其中acb). 探究点一　定积分的概念 问题1　分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点． 答　两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限． 问题2　怎样正确认识定积分?f(x)dx? 答　(1)定积分?f(x)dx是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外?f(x)dx与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同． (2)定积分就是和的极限(ξi)·Δx，而?f(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”． (3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)． 例1　利用定积分的定义，计算x3dx的值． 解　令f(x)＝x3. (1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区间[，](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝. (2)近似代替、作和取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则 x3dx≈Sn＝f()·Δx ＝ ()3·＝i3 ＝·n2(n＋1)2 ＝(1＋)2. (3)取极限 ?x3dx＝Sn＝ (1＋)2＝. 小结　利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤． 跟踪训练1　用定义计算(1＋x)dx. 解　(1)分割：将区间[1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度Δx＝. (2)近似代替、求和：在上取点ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋＝2＋， 从而得(ξi)Δx＝(2＋)·＝ ＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝2＋·＝2＋. (3)取极限：S＝ ＝2＋＝. 因此(1＋x)dx＝. 探究点二　定积分的几何意义 问题1　从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么f(x)dx表示什么？ 答　当函数f(x)≥0时，定积分f(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(ab)，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积． 问题2 　当f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≤0时，f(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？ 答　如果在区间[a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)． 由于0，f(ξi)≤0，故f(ξi)≤0.从而定积分f(x)dx≤0，这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值， 即f(x)dx＝－S. 当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即f(x)dx＝－S1＋S2－S3. 例2　利用几何意义计算下列定积分： (1)?dx；(2)?(3x＋1)dx. 解　(1)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆， 其面积为S＝·π·32.由定积分的几何意义知dx＝π. (2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示： (3x＋1)dx